Matek 3 SZE epizód tartalma:
Kiderül, mitől függ, hogy létezik-e egy mátrixnak LU-felbontása. Megnézünk néhány mátrixot, hogy teljesül-e rá az LU-felbontás feltétele és ha igen, megcsináljuk a felbontást, hogyha pedig nem... na arra az esetre is csinálunk valamit.
Van itt egy kis probléma.
Itt ez a teljesen tisztességes mátrix…
Ami ráadásul egy reguláris mátrix, vagyis a determinánsa nem nulla.
Hogyha azonban megpróbáljuk elkészíteni az LU-felbontását…
Ennél a résznél elakadunk.
A Gauss eliminációnál ilyenkor egy sorcserével megoldható a probléma…
De a sorcsere sajnos megváltoztatja az eredeti A mátrixot.
Ha csak meg kell oldanunk az egyenletrendszert, akkor ez persze nem gond.
De most igen.
Ha nem változtathatjuk meg az A mátrix sorainak eredeti sorrendjét, akkor az LU-felbontást nem tudjuk megcsinálni.
A problémát ez a blokk okozza.
Ebben a blokkban ugyanis két egymással összefüggő sor van.
A második sor az első sor 3-szorosa.
Ez okozza az elakadást.
Az elakadást bármelyik bal felső blokk okozhatja.
Ezeknek a blokkoknak a determinánsát főminornak vagy másként sarokfőminornak nevezzük.
Egy -es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első főminora nem nulla.
Ennél az A mátrixnál tehát az első két főminornak nem kéne nullának lennie…
Hát igen, a második főminor nulla, így aztán nincs LU-felbontás.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel.
Végülis kár előre azon aggódni, hogy létezik-e LU-felbontás.
Ez menet közben úgyis kiderül.
De most gyorsan nézzük meg, hogy kipróbáljuk ezt a főminoros módszerünket.
Remek hír, úgy néz ki, hogy most létezik LU-felbontás.
Már jön is az LU-felbontás.
Nézzünk meg még egyet.
Most nem bajlódunk itt a főminorokkal.
Lesz ami lesz, jöjjön azonnal az LU-felbontás.
A folyamat itt elakadt…
Mázli, hogy pont a végén.
Hogyha esetleg valakit érdekelnek az elméleti jellegű részletek, a B mátrix most olyan…
hogy az első főminor nem nulla…
a második főminor sem nulla…
de a harmadik igen.
Csak éppen ez már mindegy.
Kész az LU-felbontás.
És most itt az ideje megnézni, hogy mit kezdhetnénk azokkal a mátrixokkal, ahol az LU-felbontás folyamata menet közben elakad…