MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA

DEFINÍCIÓ: Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa

ahol p az oszlopindexek permutációi, I(p) pedig ezen permutációk inverziószáma.

Ez egy igazán remek definíció, de egy kis magyarázatot igényel.

Valójában a mátrixok determinánsa sokkal egyszerűbb fogalom.

Arról van szó, hogy a mátrix minden sorából és oszlopából kiválasztunk egy és csak egy elemet, és ezeket az elemeket összeszorozzuk. Ezt az összes lehetséges módon

megtesszük, és a szorzatokat ellátjuk egy előjellel, végül az így kapott előjeles

szorzatokat összeadjuk.

EGY 2x2-ES MÁTRIX DETERMINÁNSA

Nézzünk erre egy példát. Itt van egy mátrix:

aminek a determinánsa

A determináns tehát azt tudja, hogy minden mátrixból csinál

egyetlen számot.

Hamarosan az is kiderül, hogy mindez mire jó, de most lássuk

mi a helyzet egy 3X3-as mátrix determinánsával!

EGY 3x3-AS MÁTRIX DETERMINÁNSA

A 3X3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály,

ami szarrusz szabály néven ismert.

A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot

és leírjuk saját maga mögé még egyszer,

majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat.

A főátlók elemeit összeszorozzuk és pozitív előjellel vesszük,

aztán a mellékátlók elemeit is összeszorozzuk, de azokat negatív előjellel vesszük.

Ez a mátrix determinánsa.

A módszer sajnos csak 3x3-as mátrixokra működik és nem túl kellemes.

Sokkal több értelme van megjegyezni az úgynevezett kifejtési tételt,

ami minden nxn-es mátrixra jó és most jön.

Ha az egy -es mátrix, akkor determinánsa

Itt a elemhez tartozó aldetermináns.

Semmi ok az aggodalomra, a gyakorlatban mindez sokkal egyszerűbb.

Nézzünk egy példát!

Van itt ez a 3x3-as mátrix:

Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk az első sora

szerint fejtjük ki.

Kifejthetjük a második sor szerint is, majd megnézzük azt is,

a végeredmény ugyanaz kell, hogy legyen.

Az első sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos

de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.

Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!

A sakktábla-szabály miatt a második elem mínusszal van.

A harmadik megint plusszal.

Most jönnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek,

hogy az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.

Végül kiszámoljuk a 2X2-es mátrixok determinánsait.

És kész is.

Nézzük meg, hogy mi történik, ha a második sor szerint fejtünk ki!

Ha a második sor szerint fejtünk ki, akkor a sakktábla-szabályban is

a második sort kell nézni.

És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!