Matek 8. osztály epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy an működik a Pitagorasz-tétel. Szuper-érthető példákon keresztül megnézheted, mit kell tudnod a Pitagorasz-tételről és a tétel megfordításáról. Egyáltalán mi az a megfordítás? Ez is ki fog derülni. Aztán jön sok-sok feladat, ahol gyakoroljuk a Pitagorasz-tétel használatát és kiszámolunk ezt-azt derékszögű háromszögekben.
Ha van olyan matematikai tétel, amit a világon szinte minden ember ismer, akkor az a Pitagorasz-tétel.
Ismertsége talán annak is köszönhető, hogy nem túl bonyolult dolgot állít:
Vagyis egy derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
A Pitagorasz-tétel bizonyítása nagyon egyszerű.
A tétel megfordítása is igaz…
Ja, mondjuk nem ez a megfordítás…
A megfordítás azt jelenti, hogyha egy háromszög oldalaira teljesül, hogy
akkor a háromszög derékszögű.
Derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.
A Pitagorasz-tételt és a megfordítását az emberiség évezredek óta használja derékszög szerkesztésére.
Egy piramis alapjának az építésénél például elég fontos volt eltalálni a 90 fokot.
Ha csak 1 fokot tévednek, már akkor is olyan ferde lesz a piramis, hogy nem lehet rendesen megépíteni.
Egy nagyon ravasz módszert használtak a derékszög szerkesztésére.
12 darab csomót kötöttek egymástól egyforma távolságra egy kötélre.
Aztán a kötelet háromszög alakban kifeszítették.
Mégpedig így, hogy az oldalak hossza 3 csomó, 4 csomó és 5 csomó legyen.
Ez ugyanis éppen egy pitagoraszi számhármas.
Ami garantálja, hogy itt hajszálpontosan derékszög van.
ennek köszönhetően itt garantáltan derékszög van.
A pitagoraszi számhármasokat már több ezer évvel ezelőtt ismerték, és Több ezer évvel ezelőtt
Pitagoraszi számhármas.
A pitagoraszi számhármasokat a Föld szinte minden jelentősebb civilizációja ismerte, sőt azt is tudták, hogy ez a derékszög szerkesztés egyik legbiztosabb módszere.
A legrégebbi agyagtábla, amin a pitagoraszi számhármasok felbukkannak 3800 éves.
Püthagorasz, akiről a tételt elnevezték úgy durván 2500 éve élt, vagyis biztosan nem ő találta ki, csak neki volt a legjobb a marketingje.
á négyzet meg bé négyzet egyenlő cé négyzet
tezgyén éc őlnegye tezgyén éb gem tezgyén á
A leghíresebb pitagoraszi számhármas a 3,4 és 5, de szintén használták az 5, 12 és 13 számhármast is.
És van még néhány…
Püthagorasz, akiről a tételt elnevezték úgy durván 2500 éve élt, így a tételt nem ő találta ki, csak neki volt a legjobb a marketingje.
A Pitagorasz-tétel használata nagyon egyszerű…
Itt van például ez csinos derékszögű háromszög, amiben ismerjük a két befogót, és a kérdés, hogy mekkora az átfogó.
Már jön is a Pitagorasz-tétel…
És kész is van.
A Pitagorasz-tétel feladatról feladatra megoldja az élet problémáit…
Legalábbis azokat, amik derékszögű háromszögekkel kapcsolatosak.
Itt is jön egy újabb...
Egy derékszögű háromszög befogói p és q, az átfogója pedig r. Tudjuk, hogy p=9 és r=15. Mekkora a q oldal?
Hát igen, ez a p, q és r egy ócska kis trükk, hogy megzavarják az életünket…
Gyakran előfordul, hogy egy feladatban direkt nem a-val, b-vel és c-vel jelölik az oldalakat, hátha így könnyebben elszámoljuk…
A szokásos Pitagorasz-tétel most átalakul:
Ezen nem kell fennakadni, simán jelölhetjük az oldalakat akár így is…
És akkor a jó öreg Pitagorasz-tétel:
De most maradjunk inkább a p, q és r-nél…
Ez is megvan.
De vigyázni kell ezekkel a Pitagorasz-tételes feladatokkal.
Nagyobb mennyiségben ugyanis már ártalmasak lehetnek.
Talán egy még nem árthat meg…
Ebben a derékszögű háromszögben a befogók x és y, az átfogója pedig z. Tudjuk, hogy y = 9 és z = 15. Mekkora az x oldal?
Hopp, erre valami nagyon ronda szám jött ki…
Biztos elszámoltuk…
Az ilyen gyanús végeredményeket érdemes újra csekkolni.
De, ha megint ez jön ki, akkor nincs mit tenni.
Ez a megoldás.
Vagyis simán lehetnek pitagoraszos feladatok csúnya számokkal is.