A Pitagorasz-tétel

Ha van olyan matematikai tétel, amit a világon szinte minden ember ismer, akkor az a Pitagorasz-tétel.
Ismertsége talán annak is köszönhető, hogy nem túl bonyolult dolgot állít:
Vagyis egy derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása nagyon egyszerű.

A tétel megfordítása is igaz…

Ja, mondjuk nem ez a megfordítás…

A megfordítás azt jelenti, hogyha egy háromszög oldalaira teljesül, hogy

akkor a háromszög derékszögű.

Derékszögű háromszögben a befogók négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

A Pitagorasz-tételt és a megfordítását az emberiség évezredek óta használja derékszög szerkesztésére.

Egy piramis alapjának az építésénél például elég fontos volt eltalálni a 90 fokot.
Ha csak 1 fokot tévednek, már akkor is olyan ferde lesz a piramis, hogy nem lehet rendesen megépíteni.

Egy nagyon ravasz módszert használtak a derékszög szerkesztésére.
12 darab csomót kötöttek egymástól egyforma távolságra egy kötélre. 

Aztán a kötelet háromszög alakban kifeszítették.
Mégpedig így, hogy az oldalak hossza 3 csomó, 4 csomó és 5 csomó legyen.

Ez ugyanis éppen egy pitagoraszi számhármas.

Ami garantálja, hogy itt hajszálpontosan derékszög van.

ennek köszönhetően itt garantáltan derékszög van.

A pitagoraszi számhármasokat már több ezer évvel ezelőtt ismerték, és  Több ezer évvel ezelőtt 
Pitagoraszi számhármas.

A pitagoraszi számhármasokat a Föld szinte minden jelentősebb civilizációja ismerte, sőt azt is tudták, hogy ez a derékszög szerkesztés egyik legbiztosabb módszere.

A legrégebbi agyagtábla, amin a pitagoraszi számhármasok felbukkannak 3800 éves.

Püthagorasz, akiről a tételt elnevezték úgy durván 2500 éve élt, vagyis biztosan nem ő találta ki, csak neki volt a legjobb a marketingje.

á négyzet meg bé négyzet egyenlő cé négyzet
tezgyén éc őlnegye tezgyén éb gem tezgyén á
A leghíresebb pitagoraszi számhármas a 3,4 és 5, de szintén használták az 5, 12 és 13 számhármast is.

És van még néhány…

Püthagorasz, akiről a tételt elnevezték úgy durván 2500 éve élt, így a tételt nem ő találta ki, csak neki volt a legjobb a marketingje.

A Pitagorasz-tétel használata nagyon egyszerű…
Itt van például ez csinos derékszögű háromszög, amiben ismerjük a két befogót, és a kérdés, hogy mekkora az átfogó.

Már jön is a Pitagorasz-tétel…

És kész is van.
A Pitagorasz-tétel feladatról feladatra megoldja az élet problémáit…
Legalábbis azokat, amik derékszögű háromszögekkel kapcsolatosak.

Itt is jön egy újabb...

Egy derékszögű háromszög befogói p és q, az átfogója pedig r. Tudjuk, hogy p=9 és r=15. Mekkora a q oldal?

Hát igen, ez a p, q és r egy ócska kis trükk, hogy megzavarják az életünket…

Gyakran előfordul, hogy egy feladatban direkt nem a-val, b-vel és c-vel jelölik az oldalakat, hátha így könnyebben elszámoljuk…
 
A szokásos Pitagorasz-tétel most átalakul:

Ezen nem kell fennakadni, simán jelölhetjük az oldalakat akár így is…

És akkor a jó öreg Pitagorasz-tétel:

De most maradjunk inkább a p, q és r-nél…

Ez is megvan.

De vigyázni kell ezekkel a Pitagorasz-tételes feladatokkal.
Nagyobb mennyiségben ugyanis már ártalmasak lehetnek.
Talán egy még nem árthat meg…

Ebben a derékszögű háromszögben a befogók x és y, az átfogója pedig z.  Tudjuk, hogy y = 9 és z = 15. Mekkora az x oldal?
Hopp, erre valami nagyon ronda szám jött ki…
Biztos elszámoltuk…

Az ilyen gyanús végeredményeket érdemes újra csekkolni.

De, ha megint ez jön ki, akkor nincs mit tenni.
Ez a megoldás.

Vagyis simán lehetnek pitagoraszos feladatok csúnya számokkal is.

A Pitagorasz-tétellel lazán ki tudunk számolni néhány dolgot egyenlő szárú háromszögekben is.

Ebben az egyenlő szárú háromszögben  a szárak 13 cm hosszúak, az alap pedig 10 cm. Mekkora a háromszög területe?

A jó öreg területképlet szerint ekkora.
Az a oldalról tudjuk, hogy 10 cm…
De kellene még a háromszög magassága is.

És itt kerül képbe a Pitagorasz-tétel.
Az alaphoz tartozó magasság az alapot felezi…
 

 Ez meg is van.
Nézzünk meg még egyet…

Egy egyenlő szárú háromszög Területe 120 cm2, az alapja pedig 30 cm. Mekkorák a szárai?

Lássuk, mit kezdhetnénk a területtel…
 
És most jöhet a Pitagorasz-tétel…

Kész is, megvannak a szárak.

Hát, ez nem túl szép…

Nézzük, mekkora lesz a terület…
 

Végül itt jön egy szabályos háromszög, aminek az oldalai 16 cm hosszúak. Mekkora a háromszög területe?

Ezt akár általánosan is kiszámolhatjuk…

Nézzük meg, hogy mekkora lesz az a oldalú szabályos háromszög területe.

Mindent ugyanúgy csinálunk, mint az előbb…

Egy szimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?

Mivel a trapéz szimmetrikus…

ez a szakasz itt…

ugyanolyan hosszú, mint ez a másik.

Itt jön aztán egy kis Pitagorasz-tétel.

A trapéz területe pedig:

Itt jön egy másik trapéz, aminek a szárai 13 és 15 cm hosszúak, a rövidebbik alap 10 cm trapéz magassága pedig 12cm.

Mekkora a trapéz területe?

Az ilyen feladatoknál az első lépés mindig az, hogy ne essünk pánikba.

Hogyha ezzel megvagyunk, akkor innen már könnyű.

A magasságot mindig úgy érdemes berajzolni, hogy derékszögű háromszögek keletkezzenek.

Most pedig jön két Pitagorasz-tétel.

És a trapéz területe:

És van ez a harmadik trapéz, aminek a területe 108 cm2, az alapjai 24 cm és 3 cm, az egyik szára pedig 10 cm. Mekkora a másik szár?

A trapéz területe:

A trapéz egyik szára 10 cm, ami éppen ennek a derékszögű háromszögnek az átfogója.

És a trapéz másik szára is egy derékszögű háromszög átfogója…

Hát, ez is megvan.

 és 24 cmszimmetrikus trapéz szárai 13 cm hosszúak, a kisebbik alapja 6 cm a nagyobbik pedig 16 cm. Mekkora a trapéz területe?