Itt van két izgalmas definíció, amik eléggé hasonlók egymáshoz és az is közös bennük, hogy első ránézésre nehéz lenne megmondani mire jók valójában.

SAJÁTÉRTÉK: Az -es mátrix sajátvektora egy olyan nem nullvektor, amelyhez van valami valós szám, hogy

SAJÁTVEKTOR: Az -es mátrix sajátértéke egy olyan valós szám, amelyhez van valami nem nullvektor, hogy

De aggodalomra semmi ok, lássunk inkább egy konkrét példát.

Van egy remek -es mátrix

és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek mondjuk az és a vektor.

Elsőként az vektort nézzük meg. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan szám, hogy

Sajnálatos módon azonban ilyen nem létezik.

Ha ugyanis , akkor a 9 nem fog kijönni, ha , akkor pedig a 3 nem jön ki.

Próbálkozhatunk persze még egyéb számokkal is, de akkor pedig se a 3, se a 9 nem jön ki. Vagyis az vektor nem sajátvektora az mátrixnak.

Lássuk mi a helyzet a vektorral. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan szám, hogy

Ilyen létezik, mégpedig . A vektor tehát az mátrixnak sajátvektora,

és a hozzá tartozó sajátérték . A következőkben arról lesz szó, hogyan tudjuk megtalálni egy mátrix összes sajátértékét és sajátvektorát.

Egy általános módszert fogunk kifejleszteni a sajátvektorok és sajátértékek kiszámolására, aminek lényege, hogy

Rendezzük nullára.

És emeljük ki a vektort

Csakhogy van egy kis gond.

Nem sok értelme van ugyanis annak, hogy mert az egyikük egy mátrix, a másik pedig valamilyen szám, ezért a kivonás nem elvégezhető.

Szükség van tehát egy kis trükközésre.

A trükk lényege, hogy segítségül hívjuk az egységmátrixot, ami azt tudja, hogy bármilyen vektorra

odacsempésszük tehát az egységmátrixot

És így már tényleg ki lehet emelni.

Amit ezzel kaptunk, az nem más, mint egy egyenletrendszer.

Ennek biztosan megoldása az , és akkor van más megoldása is, ha .

Nekünk éppen ezek a más megoldások kellenek, azok a megoldások, amikor

tehát azt kell kiderítenünk, mikor lesz .

Vagyis most ugye

Ez egy egyenlet lesz, amit meg kell oldanunk, és az egyenlet megoldásai éppen a sajátértékek.

Az így kapott sajátértékeket visszahelyettesítjük majd ide,

és ebből lesznek a sajátvektorok.

De menjünk szépen lépésről lépésre!

Számoljuk ki az mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET

A főátló elemeiből kivonogatunk -kat, majd az így kapott determinánst egyenlővé tesszük nullával. Ez a karakterisztikus egyenlet.

2. A SAJÁTÉRTÉKEK

A karakterisztikus egyenlet megoldásai a sajátértékek.

3. A SAJÁTVEKTOROK

Az egyenletrendszer megoldásai a sajátvektorok.

Egy -es mátrixnak mindig koordinátából álló sajátvektorai

vannak, a megoldandó egyenletrendszer tehát valahogy így néz ki:

Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET

A főátló elemeiből kivonogatunk -kat,

majd az így kapott determinánst

egyenlővé tesszük nullával.

2. A SAJÁTÉRTÉKEK

A karakterisztikus egyen-

let megoldásai a sajátértékek.

3. A SAJÁTVEKTOROK

Az egyenletrendszer

megoldásai a sajátvektorok.

Egy -es mátrixnak mindig

koordinátából álló sajátvektorai vannak.

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani:

Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.

A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat

kifejtjük a determinánst:

az így kapott egyenlet a karakterisztikus egyenlet

az egyenlet megoldásai a sajátértékek:

és

Lássuk a sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! Mivel az mátrix -es ezért a sajátvektorok két koordinátásak lesznek:

Most pedig megkeressük a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.

A két sajátérték már megvan: és

Most két sajátérték van, ezért két egyenletrendszerünk lesz.

Az egyik, amikor a másik, amikor

Az egyik egyenletrendszer, amikor a másik, amikor

Az egyenletrendszert bázistranszformációval oldjuk meg,

akinek ezzel kapcsolatos emlékei esetleg elhalványultak, nézze meg

az erről szóló nagyon izgalmas témakört.

A sajátvektorok:

A másik sajátvektor hasonlóan izgalmas módon:

A bázistranszformáció itt véget ér, így hát leolvassuk a megoldásokat.

A fönt maradt -et elnevezzük t-nek és s-nek.