GTK Kalkulus 1 epizód tartalma:

Racionális törtfüggvények integrálása, Polinomosztás, Parciális törtek, Parciális törtekre bontás, Primitív függvény keresés, f'/f típusú integrál, Arkusztangensre vezető integrál, Határozatlan együtthatók módszere, A határozatlan együtthatók kiszámolása.

A képsor tartalma

Íme itt egy összefoglaló példa, amin minden fontos lépést megnézhetünk.

Rossz hír. Elsőként polinomosztásra lesz szükség, mivel a számlálónak kisebb fokúnak kell lennie, mint a nevezőnek.

Ez a polinomosztás pont olyan, mint az a fajta osztás amit az általános iskolában tanultunk.

Például 25:7=3 és a maradék 4

Vagyis

Na éppen ez lesz a polinomosztásnál is.

eredmény maradék

Itt jön a polinomosztás:

Eddig minden O.K.

De itt még nincs ám vége.

A kapott eredményt visszaszorozzuk az osztóval,

és levonjuk az osztandóból.

Aztán megint osztunk és ezt addig ismételgetjük, míg az osztandó fokszáma végül alacsonyabb lesz, mint az osztóé.

Hopp, most alacsonyabb lett, úgyhogy kész.

Az első két tagot integráljuk, aztán rátérünk a törtre, ahol a számláló már kisebb fokú, mint a nevező.

A nevezőt ezúttal is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani. Először kiemelünk x2-et.

Aztán megnézzük, hogy a maradék másodfokú rész szorzattá alakítható-e. Kiderül, hogy nem. Azért nem, mert nincs valós megoldása az egyenletnek.

Az x2 viszont szorzattá alakítható.

Most jön az elemi törtekre bontás.

Ha a nevezőben valami ax+b elsőfokú kifejezés négyzete szerepel úgy bontunk elemi törtekre,

hogy az egyik elemi tört nevezője ax+b,

a másiké (ax+b)2.

Most ki kell találnunk a számlálókat. Az első tört nevezője úgy tűnik elsőfokú, így a számláló valami A.

A második tört nevezője elsőfokú kifejezés négyzete ezért itt a számláló szintén valami A, de mivel A már foglalt, legyen B.

Végül a harmadik törtünk nevezője egy másodfokú kifejezés, így hát ennek a számlálója valami Ax+B alakú kell, hogy legyen, ám A és B már foglalt, tehát legjobb lesz a Cx+D.

Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi A, B, C és D.

Beszorzunk a nevezőkkel.

Aztán fölbontjuk a zárójeleket.

És megnézzük, hogy jobb oldalon hány x3 van, hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.

Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.

Az első két tagot nagyon könnyű integrálni.

A harmadik tagból meg ez lesz:

Az első tag célunknak megfelelően f’/f, míg a második tag arcustangensre vezet.

Hát ez kész.

Végezetül még egy példa:

Mindenekelőtt a nevezőt elsőfokú vagy tovább már nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani. A felbontás egyáltalán nem triviális, ugyanis a nevezőnek valós gyöke nincsen. A szorzat alak:

Ekkor:

A nevezőben lévő tényezők lesznek a parciális törtek nevezői. Mivel mindkét tényező tovább nem bontható másodfokú kifejezés, a jelek szerint két II. típusú elemi tört összegét kapjuk:

Rátérünk A, B, C, D meghatározására.

Beszorzunk:

majd átalakítunk

végül jön a szokásos egyenletrendszer:

A megoldások: , így

A két törtet külön-külön fogjuk integrálni.

Az első tört:

Ebből arctgx-nek egy lineáris helyettesítése lesz:

A második tört szimmetriai okok miatt:

A feladat megoldása az előbbiekben kapott kifejezések összege:

Ne feledjük azonban, a racionális törtfüggvények integrálásának módszerét csak akkor érdemes alkalmazni, ha már semmilyen más módszer nem bizonyul használhatónak. Ezt az iménti feladatot némileg gyorsabban S4 segítségével már korában megoldottuk!

 

Összefoglaló feladat racionális törtfüggvényekből

17
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Racionális törtfüggvények integrálása, Polinomosztás, Parciális törtek, Parciális törtekre bontás, Primitív függvény keresés, f'/f típusú integrál, Arkusztangensre vezető integrál, Határozatlan együtthatók módszere, A határozatlan együtthatók kiszámolása.

Itt jön egy fantasztikus
GTK Kalkulus 1 epizód.
Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!