Valószínűségszámítás képsor tartalma:

A képsor tartalma

A POISSON ELOSZLÁS ÉS AZ EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS KAPCSOLATA

Egy benzinkúthoz óránként átlag 12 autó érkezik.

1. Mekkora a valószínűsége, hogy 10 perc alatt három autó érkezik?

2. Mekkora a valószínűsége, hogy két autó érkezése közt legalább 10 perc telik el?

Az első kérdés az autók számáról, míg a második az érkezésük közt eltelt időről szól.

Az autók száma diszkrét eloszlás, és mivel érkezhet bármennyi, ezért Poisson, az eltelt idő folytonos eloszlás és történetesen exponenciális.

1. X=autók száma 10 perc alatt, darab, POISSON

A várható érték óránként 12 autó, tehát 1 perc alatt 12/60=0,2 és 10 perc alatt darab

2. Y=autók közt eltelt idő, perc, EXPONENCIÁLIS

A várható érték óránként 12 autó, tehát az átlagosan eltelt idő 60/12=5 perc perc

Mindkét eloszlás ugyanazt a történetet írja le, csak az egyik a bekövetkezések számát vizsgálja, a másik pedig a köztük eltelt időt.

Így hát ennek a bizonyos -nak mindkét helyen történő rejtélyes felbukkanása sem pusztán a véletlen műve. A két valójában ugyanaz.

Ehhez azt kell megértenünk, hogy Poisson-eloszlás várható értéke függ a vizsgált időtartamtól,

Hosszabb idő alatt többen jönnek, rövidebb idő alatt kevesebben.

Mondjuk 10 perc alatt , de 15 perc alatt már .

Az exponenciális eloszlás várható értéke viszont a várhatóan eltelt idő, ami 5 perc, és ez nem függ a vizsgált időtartamtól.

Fél óra alatt ugyanúgy átlagosan 5 percenként érkeznek az autók, mint 20 perc alatt. Itt tehát a mindig ugyanannyi.

Ha pedig a Poisson eloszlásnál éppen akkora időtartamot nézünk, ami az exponenciális eloszlásnál az idő múlásának a mértékegysége, akkor a két mindig megegyezik.

Nézzük meg mi a helyzet ezzel a konkrét példánk esetében.

Ha az exponenciális eloszlásnál az eltelt időt percben mérjük, akkor a várható érték 5 perc és így .

Most számoljuk ki a -t a Poisson-eloszlásnál egy perces időtartamra.

Óránként 12-en jönnek, tehát egy perc alatt 12/60=0,2 vagyis , a két tehát megegyezik.

Ha az exponenciális eloszlásnál az eltelt időt mondjuk órában mérjük, akkor az 5 perces várható érték, lássuk csak 5 perc = 5/60 óra, tehát úgy durván 0,083 óra.

Ekkor .

Most számoljuk ki a -t a Poisson-eloszlásnál egy órás időtartamra.

Mivel a feladat úgy szólt, hogy óránként 12-en jönnek, a jelek szerint

.

A két tehát ilyenkor is megegyezik.

X = bekövetkezések száma adott idő alatt

Y = két bekövetkezés között eltelt idő

Egy földterületen átlagosan 16 havonta van a Richter-skála szerinti 5-ösnél erősebb földrengés.

a) Mi a valószínűsége, hogy egy év alatt két ilyen földrengés is van?

b) Mi a valószínűsége, hogy két ilyen földrengés közt legalább három év telik el?

X = erősebb földrengések száma egy év alatt

Lássuk hány földrengés van évente. Egy év 12 hónap, a földrengések pedig 16 havonta vannak.

Egy év alatt tehát földrengés van.

Y = a földrengések között eltelt idő

X Poisson eloszlású és a földrengések száma, Y viszont exponenciális eloszlású és a földrengések közt eltelt idő.

A várható érték tehát most nem azt jelenti, hogy várhatóan hány földrengés van, hanem azt, hogy várhatóan hány hónap telik el köztük.

3 év = 36 hónap

Na ennyi elég is volt az exponenciális eloszlásból.

Egy mobiltelefon élettartama exponenciális eloszlású, 4 év várható élettartammal.

a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 3 évig működik?

b) Mekkora a valószínűsége, hogy 3 évnél tovább, de 5-nél kevesebb ideig működik?

c) Mi a valószínűsége, hogy ha már 3 éve működik, a következő 2 évben elromlik?

A folytonos valószínűségi változók többnyire időt, távolságot, meg olyanokat mérnek, hogy hány kiló, hány liter, stb.

Természetükből adódóan itt nincs értelme olyat kérdezni, hogy mekkora a P(X=a) valószínűség, mert minden ilyen valószínűség nulla.

Ez könnyen igazolható, ha mondjuk ellátogatunk egy olyan kocsmába, ahol sört csapolnak. Vagy több sört fogunk kapni, vagy általában inkább kevesebbet, de, hogy pont annyit nem, amennyi elő van írva, az biztos. Nos nem ez a legegzaktabb magyarázat erre a jelenségre, de jegyezzük meg, hogy folytonos valószínűségi változók esetén csak intervallumokat van értelme kérdezni, hogy P(X<a) vagy P(X>a) vagy P(a<X<b)

A valószínűségeket az eloszlásfüggvény vagy a sűrűségfüggvény segítségével tudjuk kiszámolni, és többnyire mi döntjük el, hogy melyiket használjuk. Azok, akik leküzdhetetlen vágyat éreznek az integrálás iránt, nos ők használják bátran a sűrűségfüggvényt, de szenvedéseink mértéke kisebb, ha az eloszlásfüggvényt használjuk.

 

Az Exponenciális és a Poisson eloszlás kapcsolata

04
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Poisson eloszlás, Exponenciális eloszlás, A Poisson és az Exponenciális eloszlás kapcsolata, Várható érték, Szórás, Eloszlásfüggvény, Sűrűségfüggvény, Diszkrét valószínűségi változó, Folytonos valószínűségi változó.

Itt jön egy fantasztikus
Valószínűségszámítás képsor.
Végül is miért ne néznél meg
még egy képsort?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!