Koncentráció, Lorenz-görbe

Hasonlítsuk össze a Föld néhány országának egy főre jutó GDP-jét és az országok népességét. Az európai országok egy főre jutó GDP-je úgy 40 ezer USA-dollár körül mozog, igaz kelet felé haladva ez jelentős csökkenésnek indul és Oroszországnál eléri a 10 ezret. USA és Kanada is ezt a 40 ezres szintet hozza, Mexikó pedig 8 ezret. Aztán lejjebb haladva Dél-Amerikában már a 10 ezer számít kiemelkedően magasnak. Ázsiában él a Föld lakosságának több, mint fele. Az egy főre jutó GDP azonban 2000 USA-dollár körül mozog. Ezek a megdöbbentő adatok sokakat vallások megalapítására sarkallnak, mások terrorista hálózatokat építenek ki, mi viszont belevágunk a Lorenz-görbe fölrajzolásába. A Lorenz-görbe az egyik legkiválóbb szemléltető eszköze a koncentrációnak, most éppen az egy főre jutó GDP nagyon erős koncentrálódásának. A koncentráció a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg jelentős részének vagy egészének kevés egységre történő összpontosulása.

Ország

GDP/fő

(ezer USA-dollár, 2008)

Népesség

(millió)

Ausztria

46 600

8,4

Belgium

44 730

10,4

Csehország

17 280

10,2

Dánia

60 800

5,5

Franciaország

43 640

61,4

Németország

41 400

82,7

Magyarország

13 860

10,0

Norvégia

90 180

4,7

Nagy-Britannia

46 740

60,7

Olaszország

38 190

58,1

Oroszország

10 100

141,8

Svájc

55 780

7,6

Szlovákia

14 600

5,5

Ukrajna

3 307

46,0

Kanada

40 100

33,2

Mexikó

8 200

110,0

USA

47 330

304,8

Argentína

6 790

40,0

Brazília

6 600

192,0

Chile

10 590

16,8

Ausztrália

42 420

20,6

India

1 180

1 130,0

Indonézia

1 950

237,5

Irán

3 900

71,3

Kína

3 000

1 330,0

Japán

38 930

127,5

Pakisztán

940

167,2

Egyiptom

1 870

77,5

Etiópia

229

85

Kenya

640

38,5

Nigéria

1 020

150

Tanzánia

353

40,4

Készítsünk egy táblázatot, a Föld népességének egy főre jutó GDP szerinti megoszlásáról.

Az osztályközök a pontosság érdekében nem egyenletesek.

Első oszlopunk a gyakoriság, ami azt jelenti, hogy hány millió ember tartozik az adott GDP-szintet jelentő osztályközbe.

A következő oszlop a relatív gyakoriság. Jól látszik, hogy a népesség 30%-a tartozik a második osztályközbe és majdnem 30%-a a harmadikba, vagyis a Föld lakosságának jóval több, mint fele az 5000-es szint alatt van.

A kumulált relatív gyakoriság oszlopból látszik, hogy 70% van 5000 alatt, és 80% 10 ezer alatt. Magyarország a 14 ezer körüli szintjével a felső 20%-ba tartozik.

A következő oszlop az értékösszeg azt mutatja meg, hogy az egyes osztályokba tartozókra összesen mennyi GDP esik. A nyugati világ gazdaságilag fejlett országai a Föld lakosságának egytizedét teszik ki, de több GDP jut rá, mint az összes addigira együttvéve. Ezt jól szemlélteti a relatív értékösszeg és a kumulált relatív értékösszeg oszlop.

GDP/fő

(millió)

(ezer USA-dollár)

0-1 000

720

0,116

0,116

360 000

0,006

0,006

1 001-2 000

1 940

0,313

0,429

2 910 000

0,053

0,059

2 001-5 000

1 790

0,290

0,719

4 475 000

0,080

0,139

5 001-10 000

490

0,079

0,798

3 675 000

0,066

0,205

10 001-20 000

288

0,046

0,844

4 320 000

0,078

0,283

20 001-30 000

76

0,012

0,856

1 900 000

0,034

0,317

30 001-40 000

254

0,041

0,897

8 890 000

0,160

0,477

40 001-50 000

604

0,098

0,995

27 180 000

0,488

0,965

50 001-60 000

18

0,003

0,998

990 000

0,018

0,983

60 001-

15

0,002

1,000

975 000

0,017

1,000

Total

6 195

1,000

55 675 000

1,000

A Lorenz-görbe azt fejezi ki, hogy a gyakoriság egy adott százalékához az összérték hány százaléka tartozik. Az x tengelyen tehát a kumulált relatív gyakoriságot, míg az y tengelyen a kumulált relatív értékösszeget mérjük.

A Föld népességének 11,6%-ára az összes GDP 0,6%-a jut.

42,9%-ra még mindig csak 5,9% jut. 71,9%-ra mindössze 13,9% jut.

Könnyű belegondolni, hogy az y=x egyenes mentén a koncentráció nulla. Az y=x egyenes és a kapott görbe közötti területet hívjuk koncentrációs területnek, ez jellemzi a koncentráció mértékét, ami esetünkben igen magas.

A koncentráció kimutatásának egy másik egyszerű eszköze a kvantilis-eloszlás, vagyis ha olyan gyakorisági sort szerkesztünk, ahol minden gyakoriság egyenlő. Ha minden relatív értékösszeg (Zi) is egyenlő, az a koncentráció hiányát jelenti. Minél egyenlőtlenebbül alakulnak a relatív értékösszegek, a koncentráció annál nagyobb.

A kvartilis-elsozlás például úgy készül, hogy a Föld lakosságát az egy főre jutó GDP szerint sorba állítjuk, és négy egyenlő létszámú csoportra osztjuk. Az osztályközök határai ekkor kvartilisek lesznek.

GDP/fő

(millió)

0-1 100

1 548,75

0,010

1 101-2 100

1 548,75

0,027

2 101-11 000

1 548,75

0,110

11 001-90 000

1 548,75

0,853

Total

6 195

1,000

A kvintilis-eloszlás pedig ötödökre osztja.

GDP/fő

(millió)

0-1 000

1 239

0,007

1 001-2 000

1 239

0,020

2 001-4 000

1 239

0,042

4 001-20 000

1 239

0,167

20 001-90 000

1 239

0,764

Total

6 195

1,000

A koncentráció mértékének egy számmal való jellemzésére a koncentrációs terület kiszámolása viszonylag körülményes. Ezen kívül az egyik legalkalmasabb mutató az úgynevezett Herfindahl-index. Kiszámolása a Z értékekből történik:

Az eredeti táblázatunkban ezt kiszámolva

A Herfindahl-index, a kiszámolásának módja miatt mindig 1/N és 1 közötti értékkel méri a koncentráció fokát. Ha HI=1/N akkor minden egység egyformán részesedik a teljes értékösszegből, ha pedig HI=1, akkor a lehető legerősebb a koncentráció.