Analízis 3 IK epizód tartalma:
Szuper-érthetően megmtutatjuk mi az a HOM V1, V2. | Lineáris transzformációk, Transzformációk mátrixa, Képtér, Magtér, Dimenziótétel, X tengelyre tükrözés mátrixa, Origó körüli forgatás mátrixa, Projekciók, Projekciók mátrixa, Bázisvektor, Inverz transzformációk mátrixa. |
A LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK VEKTORTERE: HOM (V1,V2)
A lineáris leképezést másnéven homomorfizmusnak is nevezzük.
Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak,
ezt a vektorteret -nek nevezzük.
Injektívnek nevezzük azokat a homomorfizmusokat, ahol különböző vektorok képe is különböző:
Ha akkor
Ha tudunk mutatni olyan vektorokat amire
akkor a homomorfizmus nem injektív.
Lássuk milyen következményei vannak ennek.
Nevezzük el mondjuk valami -nek.
Viszont ugye
Tehát ami azt jelenti, hogy benne van a magtérben.
Vagyis az, hogy egy leképezés nem injektív, éppen azt jelenti, hogy -ben vannak a nullvektoron kívül más vektorok is, tehát
Az állítás megfordítása is igaz, ha akkor a magtérben kell, hogy legyen
a nullvektoron kívül valamilyen más vektor is,
aminek a képe viszont , mert ugye benne van a magtérben.
Vagyis két különböző vektor képe ugyanaz és így a leképezés nem injektív.
A homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha
Ekkor a dimenziótétel alapján vagyis a leképezés dimenziótartó.
A sík szokásos transzformációi közül az x vagy y tengelyre tükrözés és az origó körüli forgatás dimenziótartó transzformáció, az x tengelyre vetítés nem.
Van aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.
Egy leképezést szürjektívnek nevezünk, ha a teljes előáll képként.
Azok a homomorfizmusok, amelyek injektívek és szürjektívek is egyszerre,
a bijektív homomorfizmusok.
Ezekre külön elnevezés van forgalomban, őket nevezzük izomorfizmusoknak.
Ha izomorfizmus, akkor és a dimenziótétel miatt
Ráadásul a képtér éppen megegyezik -vel, ezért .
Ha izomorfizmus, akkor .
Az izomorfizmus tehát egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés két vektortér vektorai között, az egyik vektortér minden vektorához tartozik a másik vektortérben pontosan egy bizonyos vektor, vagyis a két vektortér lényegében ugyanaz.
Ez a miatt is így kell, hogy legyen, hiszen egy vektorteret a dimenziója már jellemez.