Analízis 3 epizód tartalma:
Konzervatív vektormezők potenciálfüggvénye, a potenciálfüggvény kiszámolása. Lépésről-lépésre megnézzük, hogyan kell kiszámolni a potenciálfüggvényt.
A potenciálfüggvény kiszámolása
Egy v(x,y,z) vektormező potenciálfüggvénye az F(x,y,z) függvény.
Számítsuk ki a vektormező divergenciáját és rotációját.
Az első dolgunk a vektormező előállítása lesz.
A divergenciát így már nagyon egyszerűen ki tudjuk számolni.
Most lássuk a rotációt.
Sok izgalomra ne számítsunk. Egy olyan vektormezővel van dolgunk, aminek van potenciálfüggvénye.
Vagyis ez egy konzervatív vektormező, és ezért a rotációja nulla.
Az már jóval izgalmasabb, ha mindezt fordítva kell csinálnunk.
Vagyis van egy vektormezőnk, és abból kell kitalálnunk, hogy mi lehet a vektormező potenciálfüggvénye.
Íme, itt a vektormező:
És olyankor létezik potenciálfüggvény, ha a vektormező konzervatív.
Hát, így első ránézésre fogalunk sincs...
Na, ezen a ponton kerül képbe a rotáció.
Ha egy vektormező rotációja minden pontban nulla, akkor a vektormező konzervatív.
Nézzük meg.
Úgy néz ki, ez tényleg nulla.
A jelek szerint tehát van potenciálfüggvény.
A potenciálfüggvényt integrálással tudjuk kiszámolni.
Integrálgatunk egy kicsit x szerint...
Ilyenkor y és z úgy viselkedik, mint egy konstans.
Éppen ezért simán előfordulhat, hogy y és z felbukkan ebben a C-ben is.
Íme, itt van tehát a potenciálfüggvény.
Csak még jó lenne tudni, hogy mi van ezzel itt.
Deriváljuk y szerint, és megnézzük.
A potenciálfüggvény y szerinti deriváltja mindig a vektormező második koordinátafüggvénye.
Ha ezt integráljuk y szerint, akkor éppen visszakapjuk az eredeti C(y,z)-t...
Na persze ez a +C még nyomokban tartalmazhat z-től függő függvényeket is.
És most kezdődik minden előröl ezzel a C(z)-vel.
Megint deriválunk…
Megint megnézzük, hogy minek kéne kijönnie…
Ha ezt z szerint integráljuk, akkor meg is van a C(z).
És voila, meg is van a vektormező potenciálfüggvénye.
http://web.cs.elte.hu/~szzoltan/bmk/bmk25.html
A földrajzi okok a vektormezőknek ez a teljesen lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.
De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…
Most a vektormezők
Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.
A függvény grafikonja egy vonal.
Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.