Vonalintegrál konzervatív vektormezőkön

Egy v(x,y,z) vektormező potenciálfüggvénye az F(x,y,z) függvény.

Számítsuk ki a vektormező divergenciáját, rotációját és integráljuk az r(t)=(3t, t2, t) görbén t=0 és t=2 között.

Az első dolgunk a vektormező előállítása lesz.

A divergenciát így már nagyon egyszerűen ki tudjuk számolni.

A rotáció kiszámolása már kicsit fárasztóbb…

Kivéve most.

Jelenleg ugyanis egy olyan vektormezővel van dolgunk, aminek van potenciálfüggvénye.

Vagyis ez egy konzervatív vektormező, és ezért a rotációja nulla.

Most pedig jöhet a görbementi integrál.

Ehhez szükségünk lesz egy kis hipnózisra, ahol felidézzük a kiszámolásához szükséges képleteket.

Íme, itt is vannak.

Az r görbementén vett integrál:

Az S felületi integrál:

r(t)=(3t, t2, t)

Olyankor, amikor a vektormezőnek van potenciálfüggvénye, ezeket az integrálásokat sokkal egyszerűbben is ki lehet számolni.

A potenciálfüggvény ugyanis a vektormező primitív függvénye.

Az integrál egyszerűen a primitív függvény megváltozása:

Csak éppen bele kell helyettesítenünk a görbét.

Itt jön egy másik vektormező.

És számoljuk ki az integrálját ezen a zárt görbén.

Ha ez egy konzervatív vektormező lenne, akkor minden zárt görbén az integrál nulla.

Nézzük meg, hátha szerencsénk van.

Hát nincs.

A rotáció nem nulla, vagyis a vektormező nem konzervatív.

Nincs mit tenni, el kell kezdeni számolgatni.

Legalább ilyen izgalmas kiszámolni a másik két szakaszra is az integrált.

Legalább ilyen izgalmas kiszámolni a másik két szakaszra is az integrált.

Az integrál értéke azért pozitív, mert a vektormező éppen a görbe irányával megegyező irányban örvénylik.

Ez az integrál a vektormező örvénylését írja le ezen a görbén.

Az örvénylésért a rotáció felel.

Ha ezeket a rotációkat összesítjük a görbe által határolt tartományon…

nos, akkor nagyon meglepő dolgot kapunk.

Erről fog szólni a Green-tétel…