És most megpróbálunk választ adni néhány nagyon nyugtalanító kérdésre.

Olyanokra, mint amilyen ez, hogyha A és B halmazokról tudjuk, hogy

akkor vajon igaz-e, hogy

Készítsünk ehhez egy rajzot.

Ezek olyankor egyenlők, hogyha A minden eleme B-ben is benne van…

és B minden eleme A-ban is benne van.

Röviden, ha A=B.

Hogyha A=B, akkor itt mindenhol a B-t lecseréljük…

És hopp, így minden sokkal egyszerűbbé válik.

Úgy néz ki, hogy ez tényleg igaz.

Nézzünk meg még egy ilyet…

Hogyha A és B halmazokról tudjuk, hogy

akkor vajon igaz-e, hogy

Kicsit rajzolgatunk…

Íme, a szimmetrikus differencia.

Ez olyankor lesz B-vel egyenlő, hogyha A nincs is…

Mármint, hogyha A az üreshalmaz.

a \

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges A és B halmazokra teljesül, hogy

Megint jön a szokásos táblázat.

Aztán megyünk szépen tovább.

Az unióban olyan elemek vannak, amelyek legalább az egyik halmaznak eleme.

És így szép lassan kitöltjük a táblázatot.

Most pedig hasonlítsuk össze a sorokat…

X akkor részhalmaza Y-nak…

ha minden elem, ami benne van X-ben, az benne van Y-ban is.

Lássuk, mi a helyzet itt.

.

X-ben csak ilyen típusú elemek vannak.

És ezek mind benne vannak Y-ban is.

A jelek szerint tehát .

Itt jön aztán egy rondább ügy. Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B és C halmazokra teljesül, hogy

Megint jön a táblázat…

Adottak a G és H halmazok:

Határozzuk meg a …. és … halmazokat!

Az A halmaz elemei a 28 pozitív osztói, a B halmaz elemei a 49 pozitív osztói.

Adjuk meg az … és … halmazokat elemeik felsorolásával!

28 pozitív osztói: 49 pozitív osztói:

Hány kételemű részhalmaza van a (2, 3, 5, 7, 11) halmaznak?

Egy városban 60 étterem, 56 bár és 36 reggeliző hely üzemel. Olyan, ami étterem és bár is egyben 16 darab van, ami reggelizőként és bárként is üzemel, olyanból 20 darab van, és ami reggeliző és étterem is, olyan 11 darab van. 4 olyan hely van, ami reggelizőként, étteremként és bárként egyszerre működik. Hány olyan bár működik a városban, ami nem étterem és nem reggeliző hely?

Mindig a közös metszettel érdemes kezdeni.

A jelek szerint 24 olyan bár működik a városban, ami nem étterem és nem reggeliző hely.

Van három halmaz, , és pedig a 12 pozitív osztóinak halmaza.

Ábrázoljuk ezeket a halmazokat és adjuk meg elemeinek a felsorolásával az és az halmazokat.

Lássuk, milyen számok vannak a B halmazban.

És itt jön a C halmaz.