Emelt szintű matek érettségi epizód tartalma:
Itt röviden és szuperérthetően elmeséljük, hogy miről szól a kerületi szögek tétele, mi az a látókörív, mit jelent az, hogy kerületi szög, mi a középponti szög és azt is, hogy milyen kapcsolatban vannak egymással. Aztán jönnek a húrnégyszögek, a húrnégyszögek tulajdonságai, végül egy érdekes feladat kerületi szögekkel, látókörívvel és húrnégyszögekkel.
Van itt ez a kör és benne egy AB húr.
Most válasszunk egy tetszőleges pontot a nagyobbik AB köríven.
Az ACB-szöget kerületi szögnek nevezzük, és azt mondjuk, hogy a C pontból az AB szakasz szögben látszik.
A kerületi szögek tétele azt mondja, hogy ez a szög a nagyobbik körív bármely pontjában ugyanakkora.
És a hozzá tartozó középponti szög mindig kétszer akkora.
Ugyanez elmondható a kisebbik körívről is.
És van itt még egy dolog.
Ahogy ez a rajzon is látszik, a nagyobbik és a kisebbik körívhez tartozó kerületi szögek mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
A nagyobbik körív az szögű látókörív.
Ennek minden pontjából az AB szakasz szögben látszik.
A kisebbik körív a szögű látókörív.
Ennek pontjaiból az AB szakasz szögben látszik.
Ez eddig mind nagyon érdekes, de most már lássuk végre, hogy mire lehetne használni.
Nos, meg lehet előzni vele veszélyes járványok terjedését…
Ja, nem, azt mégse.
Viszont megtudhatunk egy érdekes dolgot a húrnégyszögekről.
A húrnégyszög olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.
Innen ered az elnevezése is – hihetetlenül frappáns.
Ez itt például egy húrnégyszög.
És itt látható a húrnégyszögek egyik fontos tulajdonsága: a szemközti szögeinek összege mindig 180 fok.
A dolog fordítva is igaz, tehát ha egy négyszögben a szemközti szögek összege 180 fok…
akkor az a négyszög húrnégyszög.
Ennek gyakorlati jelentősége annyi, hogy van körülírt köre.
Egy húrnégyszög egyik átlója átmegy a négyszög köré írható kör középpontján. Ez az átló a négyszög egyik oldalával 60 fokos szöget, a másik átlóval 80 fokos szöget zár be.
Mekkorák a húrnégyszög szögei?
Kéne ide erről egy ábra.
Az egyik átló átmegy a kör középpontján…
És az egyik oldallal 60 fokos szöget zár be.
A másik átlóval pedig 80 fokosat.
Hát, íme, itt volna az áldozat.
Mivel az átló átmegy a kör középpontján, a Thalész tétel miatt ez a szög derékszög.
És ez is.
Ez jó hír, akkor két szöge már meg is van a húrnégyszögnek.
Nézzük, mi a helyzet a másik kettővel.
Van itt ez a 60 fokos szög…
És a kerületi szögek tétele miatt ez is 60 fokos.
Ez pedig…
Ebben a háromszögben a hiányzó szög…
Ebben a másikban pedig…
Mivel pedig húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 fok, a negyedik szög…
Hát erről ennyit.
Emelt szintű matek érettségi epizód.