Emelt szintű matek érettségi epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy ma az a kamatos kamat, hogyan kell kiszámolni és mire jó valójában. Azt is megnézzük, hogy mi az egyszerű kamat, és hogyan lesz belőle kamatos kamat. A kamatos kamat lényege, hogy beteszünk a bankba egy összeget, amit tőkének neveznek és T0-lal jelölünk. Erre egy bizonyos idő után p%-os kamatot kapunk. Eddig ez egyszerű kamat. Hogyha a kamattal megnövelt összeget újra kamatoztatjuk, akkor indul el a kamatos kamat folyamata. Magának a kamatos kamatnak a képlete nagyon egyszerű, és elég könnyen meg lehet oldani vele ezeket a feladatokat. Csupán néhány dologra kell figyelni, amiket részletesen be is mutatunk a kamatos kamat feladatok megoldása közben.
Egy bankban 3%-os éves kamatot adnak a pénzünkre. Beteszünk 1000 eurót a bankba 3%-os évenkénti kamattal. Mennyi pénzünk lesz 5 év múlva?
Itt van a 200 ezer, amit beteszünk a bankba.
És nézzük, mi lesz egy év múlva…
Hát reméljük, még meglesz a pénzünk…
Sőt, a bank még 4% kamatot is ad.
A kamat az eredeti pénzünknek a 4%-a…
Ezt a kamatot a bank hozzáadja az eredeti pénzünkhöz.
Az eredeti pénzt tőkének szokás nevezni.
A piros rész pedig a kamat.
Számoljuk is ki, hogy mennyi a kamat…
Ha egy év után kivennénk a pénzünket, akkor az eredeti 200 ezer forint mellé kapnánk 8 ezer forint kamatot.
A kamatos kamat lényege, hogy nem vesszük ki.
Futunk vele még egy kört, de most már ez az összeg fog kamatozódni.
Vagyis összeolvasztjuk az eredeti pénzünket és a kamatot…
Ezt egyébként kamat-tőkésítésnek hívják…
Most olyan, mintha ezt a pénzt tennénk be egy évre kamatozni.
Egy év múlva meglesz ez a pénz, plusz még a kamat, ami ennek a 4%-a…
Amit úgy kapunk meg, hogy ezt…
Megint beszorozzuk ezzel.
És aztán megint…
És megint…
Ez a kamatos kamat lényege.
Hanem azért, hogy megkapjuk a kamatos kamat képletét.
A kezdeti összeget, vagyis a tőkét T0-lal fogjuk jelölni.
Az éves kamatot pedig p-vel.
Egy év alatt -ból lesz.
Aztán T2…
És az ötödik év végére T5.
Az n-edik év végére pedig…
Ez a kamatos kamat képlete.
KAMATOS KAMAT KÉPLETE A T0 összegből n darab kamatperiódus után a következő Tn összeg lesz, ha minden periódusban p%-os a kamat:
Az eredeti feladatot ezzel a képlettel fél percen belül meg lehet oldani.
Csak behelyettesítünk a képletbe, és kész is.
A kamatos kamat ilyen egyszerű.
Nézzünk meg még egyet.
Egy lakás értéke minden évben 8%-kal növekszik. Mennyit fog érni egy 24 millió forintos lakás 3 év múlva?
Ez ugyanaz, mint a bankos történet, csak itt a 8% nem kamat…
De ugyanolyan, mintha kamat lenne, ennyivel növekszik a lakás értéke évente.
Így hát jön is a képlet:
A 24 millió forintos lakás 3 év múlva 30 millió 230 ezer forintot fog érni.
És a dolog fordítva is működik.
Egy lakás 42 millió forintot ér. Mennyit ért 3 évvel ezelőtt, ha évente 7%-kal nőtt az értéke?
A képlet most is ugyanaz:
Csak most visszafelé kell számolni.
Mert nem az a kérdés, hogy mi lesz 3 év múlva, hanem az, hogy mi volt 3 évvel ezelőtt.
Az n most is 3…
És a p most 7%...
De honnan fogja tudni a képlet, hogy most nem az a kérdés, hogy 3 év múlva, hanem az, hogy 3 évvel ezelőtt?
A T0 mindig a korábbi és a Tn mindig a későbbi állapot…
Emelt szintű matek érettségi epizód.