Már mutatjuk is, hogy mit jelent a parciális deriválás és hogyan működnek a kétváltozós függvények. Egy kétváltozós függvény grafikonja egy felület, amit úgy kapunk, hogy az (x,y) sík pontjaihoz hozzárendelünk egy harmadik koordinátát, egy magasságot. Az (x,y) sík felett kirajzolódó felületnek különböző tulajdonságait fogjuk vizsgálni a deriválás segítségével. A kétváltozós függvényeket mindkét változójuk szerint lehet deriválni, vagyis x szerint és y szerint is. Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük. A parciális deriválás úgy működik, mint a sima egyváltozós deriválás, és ha x szerint deriválunk, akkor az y-t tekintjük egy konstansnak, ha pedig y szerint deriválunk, akkor az x-et tekintjük konstansnak. Lépésről lépésre megoldunk néhány parciális deriválás feladatot, aztán megnézzük, hogy mit jelentenek az elsőrendű parciális deriváltak és a másodrendű parciális deriváltak. Az x szerinti deriváltat is deriválhatjuk x és y szerint, meg az y szerinti deriváltat is, így összesen négy darab másodrendű parciális deriváltat kapunk. Ezek közül a vegyes másodrendű parciális deriváltak általában egyenlők, erről szól a Young-tétel.