IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA

Az egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint

Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.

Implicit függvényt kapunk, ha a függvényt elrontjuk, mondjuk így:

sőt még gyököt is vonunk

Na ez egy implicit függvény.

Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.

mellesleg az is, hiszen .

Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.

A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:

És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.

Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott függvény deriváltjára van szükségünk.

Próbáljuk meg kifejezni -t

Nos íme itt van.

Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…

Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.

Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.

Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.

Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.

De itt van például ez.

Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.

Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.

Tehát például egy összetett függvény.

Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:

Külső függvény deriváltja,

szorozva a belső függvény deriváltjával.

Lássuk tehát az implicit deriválást.

Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:

Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:

Aztán kiemeljük -t.

és végül leosztunk:

Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.

Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.

A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.

Azt mondja, hogy ha egy implicit függvény, akkor deriváltja:

Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.

Itt volna az implicit függvény:

amit nullára kell rendezni,

és elkeresztelni F-nek.

Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.

Az és az közötti különbség ugyanis óriási.

Lássuk mi is a különbség!

tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám

nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.

Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.

Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.

Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.

És íme, itt az implicit derivált.

Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,

csak most így sokkal egyszerűbben.

Erre jó az implicit deriválási szabály.

A szabály több változó esetén is működik.

Ha egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:

Ha egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az változó szerint:

Nézzünk erre egy példát!

Ez egy kétváltozós implicit függvény.

Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.

A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy

Z=valami x és y

Deriváljuk akkor most x és y szerint: