Megnézzük, hogyan kell egy polinomba mátrixokat helyettesíteni, hogyan könnyíti ezt meg a sajátfelbontás, aztán az is kiderül, hogy mi történik akkor, ha egy mátrixot a karakterisztikus polinomjába helyettesítünk be. A Cayley-Hamilton tétel azt mondja ki, hogy minden nxn-es mátrix gyöke a saját karakterisztikus polinomjának, másként fogalmazva, ha a karakterisztikus polinomba behelyettesítjük a mátrixot, akkor a nullmátrixot kapjuk.