Kalkulus epizód tartalma:
Itt röviden és szuper-érthetően megmutatjuk, hogyan működnek a függvénytarnszformációk. Megnézzük, hogy mit jelent a belső függvénytranszformáció és a külső függvénytranszformáció, és leszámolunk egy téveszmével. Sokan tanítják úgy, hogy a belső függvénytarnszformációnál az x tengelyen éppen ellentétes irányban toljuk el a függvényt. De ezt ne így jegyezzük meg, mert így nincsen benne logika. Valójában a belső függvénytarnszformációnál az történik, hogy megoldjuk mikor nulla az a kifejezés, amit belehelyettesítettünk a függvénybe, és ennek a megoldása adja meg, hogy hova tolódik a függvény. Például az (x-3)2 függvény tehát nem ellentétes irányba tolódik, hanem egyszerűen csak megoldjuk az x-3=0 egyenletet és az jön ki, hogy x=3. na és pontosan ide tolódik el a függvény. A külső függvénytranszformáció már sima ügy. Itt csak annyival tolunk el, ami ki van vonva vagy éppen hozzá van adva a függvényhez, és az eltolás ilyenkor az y tengely mentén történik. Nézünk sok-sok példát is a függvénytarnszformációkra és lépésről lépésre megoldunk függvénytarnszformációs feladatokat.
Az x2 függvény grafikonja egy parabola.
A parabola csúcsa az origóban van.
Nézzük, mi történik akkor…
ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.
Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...
A parabola csúcsa mindig oda tolódik,
ahol ez nulla.
Ez pedig akkor nulla, ha x=3.
Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…
és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.
Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…
egészen más dolog történik.
Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.
Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…
Kezdjük ezzel a résszel itt…
Aztán itt van még ez is.
Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.
És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.
A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.
Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.
Hogyha itt van például ez a függvény:
A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…
Egészen pontosan ide.
Az y tengely mentén pedig ide.
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.
Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…
Vagy éppen a mínusz kétszeresére.
És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.
Végül itt jön még ez is:
De szenvedéseink tovább folytatódnak…
Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a függvény segítségével.
Ha a elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt
mindkét tengelyre is.
Lássuk, hogyan néz ki például ez…
A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…
Itt belül az x előtt viszont igen.
Na persze még el is van tolva…
Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…
Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.
2-vel pedig fölfelé.
És talán még egy utolsó nem árthat meg:
A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.
Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.
Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.
Csak sajnos ez nem igazán látszik…
mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.
Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a függvényen.
De azért így a végén még nézzük meg ezt:
Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.