A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek és ,

az y szerinti határok pedig két függvény, és .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt: