Matematika 1 SZTE epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mit jelent a függvények folytonossága. A folytonos függvény fogalma egy nagyon fontos fogalom a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. Röviden arról van szó, hogy egy függvény akkor folytonos az a-ban, ha a határértéke egyenlő a függvényértékkel. Egy kicsit hosszabban az f(x) függvény folytonos az a-ban, ha értelmezve van az a-ban, van véges határértéke az a-ban, és ez a ahatárérték egyenlő a függvényértékkel. Az is megesik, hogy egy függvény nem folytonos az a-ban, de folytonossá tehető. Ehhez az kell, hogy a függvénynek legyen véges határértéke az a-ban. Lépésről lépsre megoldunk néhány folytonossággal kapcsolatos feladatot. Lesz paraméteres folytonosság feladat is, és azt is megvizsgáljuk, hogy egy függvény milyen helyeken tehető folytonossá. Függvény folytonosság feladatok megoldással, határértékszámítás, folytonosság, folytonos függvények.
Az függvény folytonos az -ban, ha értelmezve van az -ban, létezik és véges a határértéke az -ban és ami a lényeg:
Lássunk egy példát.
Folytonos-e a következő függvény a 3-ban?
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem,
mert ez a függvény a 3-ban ugrik egyet, az ugrálás márpedig nem tesz jót a függvény folytonosságának.
Kiszámoljuk a határértéket,
aztán a függvényértéket
és ha egyenlők akkor folytonos, ha nem egyenlők akkor nem folytonos.
Nem egyenlők, tehát a függvény nem folytonos a 3-ban.
Nem folytonos a 3-ban, de folytonossá tehető.
Mindössze annyit kell tennünk, hogy átírjuk ezt.
És tessék, így már folytonos.
Nem ilyen egyszerű az ügy a 4-ben.
Itt meglehetősen nehéz lenne folytonossá varázsolni a függvényt.
Egészen pontosan lehetetlen.
Az függvény folytonossá tehető az -ban, ha értelmezve van az -ban
és létezik véges a határértéke az -ban.
Itt jön egy másik függvény, a feladat pedig az, hogy adjuk meg az és paramétereket úgy, hogy a függvény folytonos legyen 2-ben és 3-ban.
A rajz most is csak fekete mágia.
Lássuk a határértékeket. A 2-vel kezdjük.
Aztán nézzük mi van a 3-ban.
Ezt az előbb már sikeresen szorzattá alakítottuk.
Sőt már egyszerűsítettünk is.
nem adható meg úgy, hogy a függvény folytonos legyen a 3-ban.
Ez a függvény tehát folytonossá tehető a 2-ben, úgy, ha A=4 de nem tehető folytonossá a 3-ban.
Végül nézzünk meg egy harmadik függvényt is.
Derítsük ki, hogy folytonossá tehető-e az x=1 és az x=3 helyen.
Ha vetünk egy pillantást a rajzra, akkor látszik, hogy 1-ben a határérték véges, 3-ban pedig nem.
Így aztán 1-ben a függvény folytonossá tehető 3-ban nem.
Nézzük hogyan jön ez ki a rajz nélkül is.
A határérték véges, ezért a függvény folytonossá tehető.
Nem létezik határérték, így sajna 3-ban nem tehető folytonossá.