Matematika alapok epizód tartalma:
Már mutatjuk is mik azok a függvények, mit jelent, hogy egy függvény kölcsönösen egyértelmű, vagyis injektív, milyenek a szürjektív függvények és hogyan néz ki az értelmezési tartomány és az értékkészlet.
Van itt ez a két halmaz.
És vannak olyan helyzetek, amikor szükség lenne arra, hogy összepárosítsuk az elemeiket…
Ezeket a párokat rendezett pároknak nevezzük.
A rendezett párok maguk is halmazok, a pontos definícióhoz pedig itt jön most egy kis unalmas elméleti bűvészkedés.
Az x és y által alkotott rendezett pár egy halmaz.
Ez a halmaz itt:
Az y és x által alkotott rendezett pár pedig egy másik halmaz.
A definíció nagyon ravasz, mert a régóta használt halmaz fogalomra vezeti vissza a rendezett pár fogalmát…
Közben pedig benne van a rendezett párnak az a tulajdonsága is, hogy a két elem sorrendje számít.
És most készítsük el az összes olyan rendezett párt, aminek az első eleme az A halmazból van, a második eleme pedig a B-ből…
Hát, még jó sok van…
A hét minden napjához tartozik 4 lehetőség:
Ez összesen 28 darab rendezett pár.
Na, még írjuk ide az utolsót…
És most a rendezett párokat betesszük szépen egy halmazba…
Ezt a halmazt hívjuk az A és B halmazok Descartes-szorzatának.
Vannak, akik úgy hívják, hogy direkt-szorzat. Ezt könnyebb leírni…
Az A és B halmazok Descartes-szorzata tehát úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból vesszük, a másodikat pedig B-ből.
Hogyha például itt vannak ezek a halmazok…
akkor a Descartes-szorzatuk…
Az A és B halmazok Descartes-szorzatának elemszáma mindig a két halmaz elemszámának a szorzata.
Van itt ez az A halmaz…
És nézzük meg, mi történik akkor, hogyha megszorozzuk önmagával.
Hogyha az A halmazba betesszük még a 4-et is…
Akkor a helyzet már valahogy így néz ki.
Valahonnan mintha már ismerős lenne ez…
Ja meg is van, hogy honnan.
Hogyha az A halmaz éppen a valós számok halmaza, vagyis R…
akkor az RxR Descartes szorzat épp a koordinátarendszert adja.
Most pedig lássuk, mire használhatnánk a Descartes-szorzatot, jóra vagy rosszra…
Ha meg szeretnénk mondani, hogy egy héten milyen lesz az idő…
akkor szükségünk lesz hét darab rendezett párra.
Ezeket a rendezett párokat az A és B halmazok Descartes-szorzatából választjuk ki.
Minden napra csak egy elemet választhatunk.
Ezt jó lenne valahogy megüzenni a meteorológusoknak is…
Hogyha ugyanis mondjuk keddre két elemet is választunk…
na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
A jó előrejelzés titka az, hogy ugyanarra a napra nem jósol két különböző időjárást…
Vagyis, ha van egy és egy akkor szükségképpen .
Hogyha ez varázslatos dolog teljesül, azt úgy nevezzük, hogy függvény.
Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár, és ha és akkor szükségképpen .
Ha keddre két elemet is választunk, akkor ez nem függvény.
Hogyha viszont csak egyet, akkor igen.
Ez azt jelenti, hogy a hét minden napjához hozzárendelünk valamilyen időjárást.
És ezzel eljutottunk az általános iskolából ismert függvény-ábrához.
Ez jó jel, ezek szerint, amit általános iskolában tanulunk, annak van értelme.
Rögtön folytatjuk.
Van itt ez a két halmaz…
Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…
Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.
Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…
Ezzel nincsen semmi baj.
De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…
Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?
Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…
Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
egyedül az a fontos, hogy csak egyet.
Ez a hozzárendelés most egyértelmű.
Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.
Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.
Adott az és nem üres halmaz.
Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…
a B halmaznak néhány elemét.
És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.
Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.
ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
ÉRTÉKKÉSZLET
Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.
Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…
amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.
Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:
De a gyengébb idegzetűek kedvéért szokás úgy is jelölni, hogy É.T.
Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:
Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.
Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…
hanem a másik irányba is.
Esetünkben ez most nem mondható el.
Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.
Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.
Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…
az minden problémát megoldana.
Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…
Az függvény kölcsönösen egyértelmű, ha akkor .
Vagyis különbözö x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.
A kölcsönösen egyértelmű függvények az injektív függvények.
Itt jön aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.
Egy függvény szürjektív, hogyha az egész B halmaz előáll képként, vagyis B minden eleme hozzá van rendelva valamelyik A-beli elemhez.
Hát ez most éppen nem mondható el, a napsütés ugyanis kimarad…
Hogyha mondjuk csütörtökön sütne egy kicsit a nap…
Na, az segítene a dolgon.
Ez a függvény így már szürjektív.
És így is szürjektív.
Hogyha ráadásul még injektív is lenne…
Ehhez egy kicsit változatosabb időjárásra lesz szükség…
Akkor ez egy injektív és szürjektív függvény, amit úgy hívunk, hogy bijektív.