Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció

mateking

  • Nyitólap
  • Tantárgyak
  • Matek érettségi
  • FAQ
  • Rólunk
Login
  • Középiskolai matek  
  • Analízis 1  
  • Analízis 2  
  • Analízis 3  
  • Lineáris algebra  
  • Valószínűségszámítás  
  • Diszkrét matematika  
  • Statisztika  
 

Matematika alapok

  • Algebra, nevezetes azonosságok
  • Másodfokú egyenletek
  • Egyenlőtlenségek
  • Egyenletrendszerek
  • Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
  • Exponenciális egyenletek
  • Logaritmikus egyenletek
  • Gyökös egyenletek
  • Trigonometrikus egyenletek
  • Halmazok
  • Gráfok
  • Teljes indukció
  • Komplex számok
  • Mátrixok és vektorok
  • Lineáris függetlenség, bázis, rang
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor
  • Vektorok
  • Függvények ábrázolása
  • Függvények és inverz függvények
  • Koordinátageometria
  • Polinomok
  • Feladatok függvényekkel
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Számelmélet
  • Szöveges feladatok
  • Síkgeometria
  • Középpontos hasonlóság
  • Trigonometria
  • Szinusztétel, Koszinusztétel
  • Térgeometria
  • A parabola
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Kombinatorika
  • Valószínűségszámítás
  • Statisztika

Függvények ábrázolása

  • Epizódok
  • Feladatok
00
 
Függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet
01
 
Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk
02
 
Monotonitás, konvexitás, szélsőértékek, értékkészlet
03
 
A másodfokú függvény ábrázolása
04
 
Hatványfüggvények, polinomfüggvények
05
 
Négyzetgyök függvény ábrázolása
06
 
Abszolútérték függvény ábrázolása
07
 
Trükkösebb abszolútértékes függvények
08
 
Az 1/x függvény ábrázolása
09
 
Az exponenciális függvény ábrázolása
10
 
Az e^x függvény ábrázolása
11
 
A logaritmus függvény ábrázolása
12
 
FELADAT | Másodfokú függvények
13
 
FELADAT | Gyökös függvények
14
 
FELADAT | Abszolútértékes függvények
15
 
FELADAT
16
 
FELADAT
17
 
FELADAT
18
 
FELADAT
19
 
FELADAT
20
 
FELADAT
21
 
FELADAT
22
 
FELADAT
23
 
FELADAT
24
 
FELADAT
25
 
FELADAT

1. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=(x-3)^2 \)

b) \( f(x)=(-x-2)^2 \)

c)  \( f(x)=(x-4)^2-3 \)

d)  \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)

e)  \( f(x)=-\sqrt{x} \)

f)  \( f(x)=\sqrt{-x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^2-6x+7 \)

b) \( f(x)=x^2+5x+6 \)

c)  \( f(x)=3x^2-12x+9 \)

d)  \( f(x)=-2x^2+2x-12 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\sqrt{x-5} \)

b) \( f(x)=\sqrt{6-2x} \)

c)  \( f(x)=-\sqrt{3x+6} \)

d)  \( f(x)=\sqrt{2x-4}+3 \)

e)  \( f(x)=\sqrt{4x-12}+1 \)

f)  \( f(x)=\sqrt{4-2x}-3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=|x-5| \)

b) \( f(x)=|7-x| \)

c)  \( f(x)=|6-2x| \)

d)  \( f(x)=|x+5|-3 \)

e)  \( f(x)=|3x-12|+1 \)

f)  \( f(x)=2-|4-2x| \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=|x^2-4| \)

b) \( f(x)=|x^2-5x| \)

c)  \( f(x)=||x|-3| \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)

b) \( f(x)=\frac{x+3}{x-2} \)

c)  \( f(x)=\frac{2x+5}{x+3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=3^{x-5} \)

b) \( f(x)=3^{x-2}+3 \)

c)  \( f(x)=-2^{x-3}+4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=e^{x-5} \)

b) \( f(x)=e^{x-2}+3 \)

c)  \( f(x)=-e^{x-3}+4 \)

d)  \( f(x)=e^{3-x}+3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\ln{(x-5)} \)

b) \( f(x)=\ln{(x-2)}+3 \)

c)  \( f(x)=-\ln{(x-3)}+4 \)

d)  \( f(x)=\ln{(2-x)}+3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=(x-2)^2 \)

b) \( f(x)=(-x+3)^2 \)

c)  \( f(x)=(2x+6)^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=\sqrt{x+4} \)

b) \( f(x)=\sqrt{5-x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=|x|-3 \)

b) \( f(x)=|x-3| \)

c) \( f(x)=|x-3|-5 \)

d) \( f(x)=-|x+1|+2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Ábrázoljuk az $f(x)=|x-3|-5 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Ábrázoljuk az $f(x)=-|x+1|+2 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Ábrázoljuk az $f(x)=-(x-2)^2+1 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


18. Ábrázoljuk az $f(x)=(x-2)^2+5 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


19. Ábrázoljuk az $f(x)=-|x+2|+3 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


20. Ábrázoljuk az $f(x)=x^2-6x+13 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


21. Ábrázoljuk az $f(x)=|x+2|-3 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


22. Ábrázoljuk az $f(x)=x^2+2x+4 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


23. Ábrázoljuk az $f(x)=x^2-10x+20 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


24. Ábrázoljuk az $f(x)=\frac{1}{x-3} $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


25. Ábrázoljuk az $f(x)=\frac{1}{x+2}+5 $ függvényt.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Függvények ábrázolása, függvénytranszformációk

Az x2 függvény grafikonja egy parabola.

A parabola csúcsa az origóban van.

Nézzük, mi történik akkor…

ha itt a zárójelen belül levonunk 3-at.

Ennek hatására a parabola eltolódik 3-mal...

A parabola csúcsa mindig oda tolódik,

ahol ez nulla.

Ez pedig akkor nulla, ha x=3.

Ebből tehát látjuk, hogy 3-mal tolódik el…

és azt is látjuk, hogy az x tengelyen.

Olyankor, amikor a 3-at így vonjuk le…

egészen más dolog történik.

Ilyenkor az y tengelyen tolódik 3-mal lefelé.

Az izgalmak növelése érdekében most nézzük, mi van akkor, ha ezt a két dolgot egyszerre csináljuk…

Kezdjük ezzel a résszel itt…

Aztán itt van még ez is.

Ezt úgy hívjuk, hogy belső függvény-transzformáció.

És úgy működik, hogy az x tengely mentén tolja el a függvény grafikonját.

A külső függvény-transzformáció a zárójelen kívül van itt.

Ez pedig az y tengelyen tolja el a függvényt.

Hogyha itt van például ez a függvény:

A belső transzformáció miatt az x tengely mentén eltolódik…

Egészen pontosan ide.

Az y tengely mentén pedig ide.

Most nézzük, mi a helyzet ezzel:

Ez pontosan ugyanúgy néz ki, mint az x2, csak éppen a kétszeresére nyújtva.

Az is megeshet, hogy a háromszorosára nyújtjuk…

Vagy éppen a mínusz kétszeresére.

És az is előfordulhat, hogy egyetlen függvényben minden eddigi rémség egyszerre van benne.

Végül itt jön még ez is:

De szenvedéseink tovább folytatódnak…

Néhány izgalmas kísérletet fogunk elvégezni a  függvény segítségével.

Ha a  elé írunk egy mínusz jelet, akkor ezzel a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.

Hogyha pedig belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.

És ha kedvünk van, tükrözhetjük a függvényt

mindkét tengelyre is.

Lássuk, hogyan néz ki például ez…

A gyökjel előtt nincsen mínuszjel…

Itt belül az x előtt viszont igen.

Na persze még el is van tolva…

Megnézzük, hogy ez itt belül mikor nulla…

Úgy néz ki, hogy 4-gyel tolódik el az x tengelyen.

2-vel pedig fölfelé.

És talán még egy utolsó nem árthat meg:

A parabolát is pontosan ugyanígy tudjuk tükrözni a tengelyekre.

Hogyha az x2 elé írjuk a mínusz jelet, akkor a függvény grafikonját az x tengelyre tükrözzük.

Hogyha pedig a zárójelen belülre rakjuk a mínuszjelet, akkor az y tengelyre tükrözzük.

Csak sajnos ez nem igazán látszik…

mert a parabola az y tengelyre szimmetrikus.

Ezért is végeztük az iménti kísérleteinket a  függvényen.

De azért így a végén még nézzük meg ezt:

Hát így kezdetnek ennyit a függvény-transzformációkról.


Monotonitás, konvexitás, szélsőértékek, értékkészlet

A másodfokú függvény ábrázolása

Hatványfüggvények, polinomfüggvények

Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.

Ez itt például az x5.

És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…

akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.

Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.

A polinomfüggvények viselkedése

A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.

És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.

Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.

Vagy így.

Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.

A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.

Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…

Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.

Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.

De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.

Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.

Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.

Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.

Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.

És maximum három tud lenni.

De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.

Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.

Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…

aztán lehet egy is.

És kettő is.

Sőt lehet négy is.

De négynél több már nem.

Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.

Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.

Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.

Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.

És íme, itt is van.

Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.

Az első grafikon ez a típus.

Egy páratlan fokú polinomfüggvény.

A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.

A másik kettő már jobbnak tűnik.

Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…

itt még lennie kéne valaminek.

Vagy x3-nek,

vagy x2-nek,

vagy mindkettőnek.

De egyik sincs.

Így hát a nyertes a középső.

Nézzünk meg még egyet.

Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.

Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.

Úgyhogy pápá első grafikon.

A másik kettő páratlan fokú.

Ha lenne itt még egy x…

akkor lehetne itt egy extra kanyar.

De nincs.


Négyzetgyök függvény ábrázolása

Abszolútérték függvény ábrázolása

Trükkösebb abszolútértékes függvények

Az 1/x függvény ábrázolása

Az exponenciális függvény ábrázolása

Az e^x függvény ábrázolása

A logaritmus függvény ábrázolása

FELADAT | Másodfokú függvények

FELADAT | Gyökös függvények

FELADAT | Abszolútértékes függvények

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

Függvény fogalma, értelmezési tartomány, értékkészlet

Van itt ez a két halmaz.

És vannak olyan helyzetek, amikor szükség lenne arra, hogy összepárosítsuk az elemeiket…

Ezeket a párokat rendezett pároknak nevezzük.

A rendezett párok maguk is halmazok, a pontos definícióhoz pedig itt jön most egy kis unalmas elméleti bűvészkedés.

Az x és y által alkotott rendezett pár egy halmaz.

Ez a halmaz itt:

Az y és x által alkotott rendezett pár pedig egy másik halmaz.

A definíció nagyon ravasz, mert a régóta használt halmaz fogalomra vezeti vissza a rendezett pár fogalmát…

Közben pedig benne van a rendezett párnak az a tulajdonsága is, hogy a két elem sorrendje számít.

És most készítsük el az összes olyan rendezett párt, aminek az első eleme az A halmazból van, a második eleme pedig a B-ből…

Hát, még jó sok van…

A hét minden napjához tartozik 4 lehetőség:

Ez összesen 28 darab rendezett pár.

Na, még írjuk ide az utolsót…

És most a rendezett párokat betesszük szépen egy halmazba…

Ezt a halmazt hívjuk az A és B halmazok Descartes-szorzatának.

Vannak, akik úgy hívják, hogy direkt-szorzat. Ezt könnyebb leírni…

Az A és B halmazok Descartes-szorzata tehát úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból vesszük, a másodikat pedig B-ből.

Hogyha például itt vannak ezek a halmazok…

akkor a Descartes-szorzatuk…

Az A és B halmazok Descartes-szorzatának elemszáma mindig a két halmaz elemszámának a szorzata.

 Van itt ez az A halmaz…

És nézzük meg, mi történik akkor, hogyha megszorozzuk önmagával.

Hogyha az A halmazba betesszük még a 4-et is…

Akkor a helyzet már valahogy így néz ki.

Valahonnan mintha már ismerős lenne ez…

Ja meg is van, hogy honnan.

Hogyha az A halmaz éppen a valós számok halmaza, vagyis R…

akkor az RxR Descartes szorzat épp a koordinátarendszert adja.

Most pedig lássuk, mire használhatnánk a Descartes-szorzatot, jóra vagy rosszra…

Ha meg szeretnénk mondani, hogy egy héten milyen lesz az idő…

akkor szükségünk lesz hét darab rendezett párra.

Ezeket a rendezett párokat az A és B halmazok Descartes-szorzatából választjuk ki.

Minden napra csak egy elemet választhatunk.

Ezt jó lenne valahogy megüzenni a meteorológusoknak is…

Hogyha ugyanis mondjuk keddre két elemet is választunk…

na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?

A jó előrejelzés titka az, hogy ugyanarra a napra nem jósol két különböző időjárást…

Vagyis, ha van egy és egy akkor szükségképpen .

Hogyha ez varázslatos dolog teljesül, azt úgy nevezzük, hogy függvény.

Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár, és ha  és akkor szükségképpen .

Ha keddre két elemet is választunk, akkor ez nem függvény.

Hogyha viszont csak egyet, akkor igen.

Ez azt jelenti, hogy a hét minden napjához hozzárendelünk valamilyen időjárást.

És ezzel eljutottunk az általános iskolából ismert függvény-ábrához.

Ez jó jel, ezek szerint, amit általános iskolában tanulunk, annak van értelme.

Rögtön folytatjuk.

Van itt ez a két halmaz…

Hogyha az egyik halmaz elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit…

Akkor kiderül, hogy milyen idő lesz a héten.

Az is megeshet, hogy több nap is ugyanolyan lesz az idő…

Ezzel nincsen semmi baj.

De ha szombathoz például két különböző elemet is rendelünk…

Na, akkor most esernyőt vigyünk vagy fürdőruhát?

Hát igen, ez így nem túl egyértelmű…

Egy hozzárendelést egyértelműnek nevezünk, ha minden elemhez pontosan egy másik elemet rendel hozzá.

Teljesen mindegy, hogy melyiket…

egyedül az a fontos, hogy csak egyet.

Ez a hozzárendelés most egyértelmű.

Az egyértelmű hozzárendeléseket úgy hívjuk, hogy függvény.

Az ilyen egyértelmű hozzárendeléseknek az a neve, hogy függvény.

Adott az  és  nem üres halmaz.

Ha az A halmaz bizonyos elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a B halmaz bizonyos elemeit, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Simán előfordulhat, hogy az A halmaznak csak néhány eleméhez rendeljük hozzá…

a B halmaznak néhány elemét.

És az sem okoz problémát, ha több elemhez is ugyanazt rendeljük.

Egyedül az lenne baj, ha egy elemhez rendelnénk hozzá több elemet.

ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

ÉRTÉKKÉSZLET

Az értelmezési tartomány azoknak az elemeknek a halmaza az A halmazban… amikhez a függvény hozzárendel B halmazbeli elemeket.

Az értékkészlet pedig azoknak az elemeknek a halmaza a B halmazban…

amelyek hozzá vannak rendelve valamely A halmazbeli elemekhez.

Az értelmezési tartományt a domain szó alapján, ami egyébként azt jelenti, hogy tartomány így jelöljük:

De a gyengébb idegzetűek kedvéért  szokás úgy is jelölni, hogy É.T.

Az értékkészlet jele pedig a range szó alapján, ami azt jelenti, hogy kiterjedés:

Ennek is van egy akadálymentesített jelölése, ami így szól, hogy É.K.

Egy hozzárendelést kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, hogyha nem csak az egyik irányba egyértelmű…

hanem a másik irányba is.

Esetünkben ez most nem mondható el.

Az eső ugyanis pénteken és szombaton is esik.

Így aztán a visszafelé irányban az esőhöz a pénteket és a szombatot is hozzárendeljük.

Talán, ha pénteken sütne egy kicsit a nap…

az minden problémát megoldana.

Ez most egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.

És most lássuk, mire is használhatnánk ezeket a függvényeket, jóra vagy rosszra…

Az  függvény kölcsönösen egyértelmű, ha  akkor .

Vagyis különbözö x-ekhez mindig különböző y-okat rendel.

A kölcsönösen egyértelmű függvények az injektív függvények.

Itt jön aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.

Egy  függvény szürjektív, hogyha az egész B halmaz előáll képként, vagyis B minden eleme hozzá van rendelva valamelyik A-beli elemhez.

Hát ez most éppen nem mondható el, a napsütés ugyanis kimarad…

Hogyha mondjuk csütörtökön sütne egy kicsit a nap…

Na, az segítene a dolgon.

Ez a függvény így már szürjektív.

És így is szürjektív.

Hogyha ráadásul még injektív is lenne…

Ehhez egy kicsit változatosabb időjárásra lesz szükség…

Akkor ez egy injektív és szürjektív függvény, amit úgy hívunk, hogy bijektív.


Kontakt
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Események
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Felhasználási feltételek Adatvédelmi irányelvek Felhasználás oktatóknak

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim