Függvények ábrázolása
1. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=(x-3)^2 \)
b) \( f(x)=(-x-2)^2 \)
c) \( f(x)=(x-4)^2-3 \)
d) \( f(x)=\sqrt{x-3}+2 \)
e) \( f(x)=-\sqrt{x} \)
f) \( f(x)=\sqrt{-x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=x^2-6x+7 \)
b) \( f(x)=x^2+5x+6 \)
c) \( f(x)=3x^2-12x+9 \)
d) \( f(x)=-2x^2+2x-12 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\sqrt{x-5} \)
b) \( f(x)=\sqrt{6-2x} \)
c) \( f(x)=-\sqrt{3x+6} \)
d) \( f(x)=\sqrt{2x-4}+3 \)
e) \( f(x)=\sqrt{4x-12}+1 \)
f) \( f(x)=\sqrt{4-2x}-3 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x-5| \)
b) \( f(x)=|7-x| \)
c) \( f(x)=|6-2x| \)
d) \( f(x)=|x+5|-3 \)
e) \( f(x)=|3x-12|+1 \)
f) \( f(x)=2-|4-2x| \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x^2-4| \)
b) \( f(x)=|x^2-5x| \)
c) \( f(x)=||x|-3| \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\frac{1}{x-3} \)
b) \( f(x)=\frac{x+3}{x-2} \)
c) \( f(x)=\frac{2x+5}{x+3} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=3^{x-5} \)
b) \( f(x)=3^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-2^{x-3}+4 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=e^{x-5} \)
b) \( f(x)=e^{x-2}+3 \)
c) \( f(x)=-e^{x-3}+4 \)
d) \( f(x)=e^{3-x}+3 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\ln{(x-5)} \)
b) \( f(x)=\ln{(x-2)}+3 \)
c) \( f(x)=-\ln{(x-3)}+4 \)
d) \( f(x)=\ln{(2-x)}+3 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=(x-2)^2 \)
b) \( f(x)=(-x+3)^2 \)
c) \( f(x)=(2x+6)^2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=\sqrt{x+4} \)
b) \( f(x)=\sqrt{5-x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket.
a) \( f(x)=|x|-3 \)
b) \( f(x)=|x-3| \)
c) \( f(x)=|x-3|-5 \)
d) \( f(x)=-|x+1|+2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Ábrázoljuk az $f(x)=|x-3|-5 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Ábrázoljuk az $f(x)=-|x+1|+2 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
17. Ábrázoljuk az $f(x)=-(x-2)^2+1 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
18. Ábrázoljuk az $f(x)=(x-2)^2+5 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
19. Ábrázoljuk az $f(x)=-|x+2|+3 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
20. Ábrázoljuk az $f(x)=x^2-6x+13 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
21. Ábrázoljuk az $f(x)=|x+2|-3 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
22. Ábrázoljuk az $f(x)=x^2+2x+4 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
23. Ábrázoljuk az $f(x)=x^2-10x+20 $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
24. Ábrázoljuk az $f(x)=\frac{1}{x-3} $ függvényt.
Megnézem, hogyan kell megoldani
25. Ábrázoljuk az $f(x)=\frac{1}{x+2}+5 $ függvényt.
Ha az x különböző hatványait összeadjuk, akkor polinomokat kapunk.
Ez itt például az x5.
És, ha kivonjuk belőle azt, hogy x3…
akkor egy ilyen kanyargós polinomfüggvényt kapunk.
Íme, itt a polinomfüggvények általános alakja.
A polinomfüggvények viselkedése
A legmagasabb fokú tag együtthatóját hívjuk főegyütthatónak.
És a legmagasabb fokú tag határozza meg a polinomfüggvény viselkedését.
Ha a legmagasabb fokú tag kitevője páros és a főegyüttható pozitív, akkor így néz ki a polinomfüggvény.
Vagy így.
Ha a főegyüttható negatív, akkor ilyen.
A páratlan fokú polinomfüggvények egészen máshogy néznek ki.
Ha a főegyüttható pozitív, akkor innen lentről mennek fölfelé…
Ha negatív, akkor pedig fentről mennek lefelé.
Egy páros fokú polinomfüggvény megteheti, hogy sohasem metszi az x tengelyt.
De egy páratlan fokúnak legalább egyszer biztosan metszenie kell.
Ezért van az, hogy egy páratlan fokú polinomfüggvénynek mindig van zérushelye.
Most pedig néhány művészi rajzot fogunk készíteni.
Kezdjük egy olyan harmadfokú polinomfüggvénnyel, aminek pontosan két zérushelye van.
Egy harmadfokú polinomfüggvénynek legalább egy zérushelye biztosan van.
És maximum három tud lenni.
De egy kis trükk segítségével azért megoldható a kettő is.
Művészi pályafutásunk következő darabja egy olyan negyedfokú polinomfüggvény, aminek három zérushelye van.
Egy negyedfokú polinomfüggvénynek lehet nulla zérushelye…
aztán lehet egy is.
És kettő is.
Sőt lehet négy is.
De négynél több már nem.
Egy n-edfokú polinomfüggvénynek mindig legfeljebb n darab zérushelye tud lenni.
Ha a fokszám páratlan, akkor 1-től n-ig bármennyi lehet.
Ha a fokszám páros, akkor pedig 0-tól n-ig bármennyi.
Most éppen azt szeretnénk, hogy három zérushely legyen.
És íme, itt is van.
Próbáljuk meg kideríteni, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon ez a típus.
Egy páratlan fokú polinomfüggvény.
A mi kis függvényünk viszont negyedfokú.
A másik kettő már jobbnak tűnik.
Az ilyen extra kanyarokhoz viszont…
itt még lennie kéne valaminek.
Vagy x3-nek,
vagy x2-nek,
vagy mindkettőnek.
De egyik sincs.
Így hát a nyertes a középső.
Nézzünk meg még egyet.
Döntsük el, hogy a három grafikon közül melyik tartozik ehhez a polinomfüggvényhez.
Az első grafikon egy páros fokú polinomfüggvényé.
Úgyhogy pápá első grafikon.
A másik kettő páratlan fokú.
Ha lenne itt még egy x…
akkor lehetne itt egy extra kanyar.
De nincs.
