- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
- Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Összetett függvény, értékkészlet, értelmezési tartomány
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
Sajátérték
Az $A$ nxn-es mátrix sajátértéke egy olyan $\lambda$ valós szám, amelyhez van valami $\underline{v}$ nem nullvektor, hogy $A \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v}$
A sajátérték lényege, hogy vannak olyan mátrixok, és olyan vektorok, hogyha a mátrixot megszorozzuk a vektorral, akkor az eredeti vektornak egy számszorosát kapjuk. Az egységmátrixpéldául ilyen: ha az egységmátrixszal megszorzunk egy tetszőleges vektort, akkor ugyanazt a vektort kapjuk. Ilyenkor minden vektor sajátvektor és a sajátérték 1, mert minden vektorból az 1-szerese lesz.
A sajátvektorok és sajátértékek egyik legfontosabb alkalmazása a geometriai transzformációk, amelyek szintén mátrixokkal írhatók le. A síkbeli tükrözés az x tengelyre például egy geometriai transzformáció, aminek a mátrixa két sajátértékkel rendelkezik. Az x tengelyen lévő vektorokkal a tükrözés hatására nem történik semmi. Ezek tehát saját maguk 1-szeresei lesznek. Az y tengelyen lévő vektorok viszont az x tengelyre történő tükrözéskor "megfordulnak" vagyis beszorzódnak -1-gyel. A tükrözés mátrixának tehát ezek lesznek a sajátértékei. Az 1 és a -1. Mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézed a kapcsolódó epizódot.
Sajátvektor
Az $A$ nxn-es mátrix sajátvektora egy olyan $\underline{v}$ nem nullvektor, amelyhez van valami $\lambda$ valós szám, hogy $A \cdot \underline{v} = \lambda \cdot \underline{v}$
A sajátvektor lényege, hogy vannak olyan mátrixok, és olyan vektorok, hogyha a mátrixot megszorozzuk a vektorral, akkor az eredeti vektornak egy számszorosát kapjuk. A sajátvektorok és sajátértékek egyik legfontosabb alkalmazása a geometriai transzformációk, amelyek szintén mátrixokkal írhatók le.
Vegyük például a síkbeli tükrözést az x tengelyre. Ez egy geometriai transzformáció. Az x tengelyen lévő vektorokkal a tükrözés hatására nem történik semmi. Ezek tehát saját maguk 1-szeresei lesznek. Vagyis ezek a vektorok egytől egyig sajátvektorok, mert teljesítik azt amit egy sajátvektornak tudnia kell: ha megszorozzuk a mátrixokt a vektorral, akkor az eredeti vektor számszorosát kapjuk. Itt most éppen az eredeti vektor 1-szeresét kapjuk. Az y tengelyen lévő vektorok szintén sajátvektorok, mert az x tengelyre történő tükrözéskor "megfordulnak" vagyis beszorzódnak -1-gyel. Vagyis ezek a vektorok saját maguk -1-szeresei lesznek. A tükrözés mátrixának tehát ezek lesznek a sajátvektorai: az x tengely és az y tengely vektorai. Az x tengelyen lévő sajátvektorokhoz tartozó sajátérték az 1, míg az y tengelyen lévő sajátvektorokhoz tartozó sajátérték a -1. Mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézed a kapcsolódó epizódot.
Karakterisztikus egyenlet
A karakterisztikus egyenlet a sajátértékek kiszámolásához szükséges egyenlet:
\( \det(A-\lambda \cdot I) = 0 \)
A karakterisztikus egyenlet segít nekünk kiszámolni egy mátrix sajátértékeit. A sajátértékeket úgy kapjuk, hogy a karakterisztikus polinomot egyenlővé tesszük nullával. Így egy egyenletet kapunk, és ennek az egyenletnek a megoldásai a sajátértékek. Az egyenletet karakterisztikus egyenletnek is szokás nevezni, és egyetlen bökkenő vele, hogy egy nxn-es mátrix karakterisztikus egyenlete n-edfokú. Vagyis 2-nél és 3-nál még valahogyan meg tudjuk oldani az egyenletet, de mondjuk egy 5x5-ös mátrixnál már ötödfokú egyenletet kapunk, amivel adódhatnak gondok.
Karakterisztikus polinom
A karakterisztikus polinom:
\( \det(A- \lambda \cdot I) \)
A karakterisztikus polinom segít nekünk kiszámolni egy mátrix sajátértékeit. A sajátértékeket úgy kapjuk, hogy a karakterisztikus polinomot egyenlővé tesszük nullával. Így egy egyenletet kapunk, és ennek az egyenletnek a megoldásai a sajátértékek. Vagyis a sajátértékek mindig a karakterisztikus polinom gyökei. Előfordul, hogy egy sajátérték többszörös gyök, és az is megeshet, hogy komplex gyökei vannak a karakterisztikus polinomnak.
Azt az egyenletet, amikor a karakterisztikus polinomot egyenlővé tesszük nullával karakterisztikus egyenletnek is szokás nevezni, és egyetlen bökkenő vele, hogy egy nxn-es mátrix karakterisztikus egyenlete n-edfokú. Vagyis 2-nél és 3-nál még valahogyan meg tudjuk oldani az egyenletet, de mondjuk egy 5x5-ös mátrixnál már ötödfokú egyenletet kapunk, amivel adódhatnak gondok.
Mátrixok diagonális alakja
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)
itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $
Diagonális alak, mátrixok diagonalizálása
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)
itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $
Diagonalizálás
Ha egy nxn-es mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
\( \text{diag}(A)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
a főatlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
\( \text{diag}(A) =X^{-1} \cdot A \cdot X \)
itt $X= \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots \underline{v}_n \end{pmatrix} $
Sajátfelbontás
Ha az $A$ mátrix egy $n$ x $n$-es diagonalizálható mátrix, akkor a sajátfelbontása:
\( A = X \cdot diag(A) \cdot X^{-1} \)
Itt $X = \begin{pmatrix} \underline{v}_1 & \underline{v}_2 & \dots & \underline{v}_n \end{pmatrix}$ vagyis egyszerűen úgy keletkezi, hogy a sajátvektorokat fogjuk, és leírjuk egymás mellé és
\( diag(A) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \end{pmatrix} \)
Hatványozás a sajátfelbontás segítségével
A spektrálfelbontás segítségével könnyebben hatványozhatunk:
\( A^n = X \cdot \left( diag(A) \right)^n \cdot X^{-1} \)
a) Sajátvektora-e az $A$ mátrixnak az $\underline{u}$ és a $\underline{v}$ vektor?
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \qquad \underline{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
b) Számoljuk ki az $A = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.
a) Itt van egy nagyszerű mátrix, ezzel a három vektorral:
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \qquad \underline{u}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{w}=\begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix} \)
És a feladatunk az, hogy derítsük ki, ezek közül a vektorok közül melyik sajátvektora az $A$ mátrixnak. A sajátvektorhoz pedig számoljuk majd ki a sajátértékeket is.
b) Számoljuk ki az $A$ mátrix sajátértékeit.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \)
c)
Itt van egy nagyszerű mátrix, ezzel a három vektorral:
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad \underline{u}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \underline{w}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \)
Nézzük meg, hogy ezek közül a vektorok közül melyik sajátvektor, és a sajátvektorokhoz számoljuk ki a hozzájuk tartozó sajátértékeket is.
a) Itt ez a mátrix, és számoljuk ki a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \)
b) Itt jön aztán ez a 3x3-as mátrix. Számoljuk ki a sajátértékeit, sajátvektorait és a sajátvektorok által generált sajátaltereket.
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
A megoldásunk során a Gauss-transzformációt használjuk.
Nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
A megoldásunk során a Gauss-transzformációt használjuk.
A bázis transzformáció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
A Gauss elimináció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.
\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)
Van itt ez a mátrix.
\( A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki, hogy mennyi $A^{10}$.
Van itt ez a mátrix.
\( A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 16 & 5 \end{pmatrix} \)
Számoljuk ki az $A^{6}$ mátrixot, az $A^{-1}$ mátrixot és még az $\left( A^{-1}\right)^2 mátrixot is.
Az $A$ mátrixnak karakterisztikus polinomja-e a $p$ polinom?
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \qquad p(x)=x^2-3x+1\)
Itt van ez a mátrix, és készítsük el a spektrálfelbontását.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \)
Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit
és sajátvektorait.
A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:
Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.
Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.
És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.
Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.
A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.
Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.
Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:
kiesik a konstans tag
Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.
Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,
de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.
Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.
Emeljünk ki 2-t.
A kettes módszer itt nem működik,
ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.
A másodfokú részt felbontjuk,
aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.
Van egy ilyen, hogy
emlékeztetőül:
A másodfokú izét szorzattá alakítjuk
Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,
aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.
Itt összevonunk:
Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,
mert a kétszeres sajátérték.
Jöhetnek a sajátvektorok!
Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.
Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.
Belerakjuk a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
Itt a bázistranszformáció elakad.
Ha két x is fönt mard,
az egyik t, a másik s
Most már itt se folytatható.
Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a és
már foglalt, legyen .
A sajátvektor ha
ahol
És a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátvektor ha
Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit
és sajátvektorait.
A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:
Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.
Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.
És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.
Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.
A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.
Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.
Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:
kiesik a konstans tag
Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.
Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,
de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.
Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.
Emeljünk ki 2-t.
A kettes módszer itt nem működik,
ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.
A másodfokú részt felbontjuk,
aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.
Van egy ilyen, hogy
emlékeztetőül:
A másodfokú izét szorzattá alakítjuk
Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,
aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.
Itt összevonunk:
Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,
mert a kétszeres sajátérték.
Jöhetnek a sajátvektorok!
Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.
Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.
Belerakjuk a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
Itt a bázistranszformáció elakad.
Ha két x is fönt mard,
az egyik t, a másik s
Most már itt se folytatható.
Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a és
már foglalt, legyen .
A sajátvektor ha
ahol
És a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátvektor ha
Ha egy -es mátrixnak van darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.
A diagonális alak így néz ki:
a főátlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.
A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:
itt vagyis egyszerűen úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat fogjuk, és leírjuk egymás mellé.
Nézzünk meg erre egy példát!
Állítsuk elő ennek a -as mátrixnak a diagonális alakját.
1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET FELÍRÁSA
A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat, és vesszük a determinánsát:
A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:
2. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET MEGOLDÁSAI A SAJÁTÉRTÉKEK
Most három sajátérték van, ; és .
Mindhárom sajátértékhez megkeressük a hozzá tartozó sajátvektort.
3. A SAJÁTÉRTÉKEKHEZ TARTOZÓ SAJÁTVEKTOROK MEGKERESÉSE
A sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk az
egyenletrendszert:
Az egyenletrendszereket bázistranszformációval oldjuk meg.
Akinek a bázistranszformációval kapcsolatos emlékei sajnálatos módon
elhalványultak, az nézze meg az erről szóló részt.
A bázistranszformáció elakadt, -et nem tudjuk lehozni, így elnevezzük –nek.
Leolvassuk a megoldást.
A sajátértékhez tartozó sajátvektor:
ahol
Most jöhet a többi sajátvektor. Megint az egyenletrendszert kell megoldanunk:
Belerakjuk a -t
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátértékhez tartozó sajátvektor:
ahol
és a -et
Bázistranszformációval oldjuk meg:
A sajátértékhez tartozó sajátvektor:
ahol
Úgy tűnik van három független sajátvektor, tehát a mátrix
diagonalizálható, a diagonalizáló mátrix pedig
A diagonális alakot az eredeti mátrixból a diagonalizáló mátrix
segítségével állítjuk elő:
A szorzásokat elvégezni azonban felesleges, mert a diagonális alak mindig úgy néz ki, hogy a főátlóban vannak a sajátértékek, az összes többi elem pedig nulla.
A sajátértékeket már régóta tudjuk
A diagonális alak tehát:
