- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
- Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Összetett függvény, értékkészlet, értelmezési tartomány
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Komplex számok
Komplex számok összeadása és kivonása
Van itt két komplex szám: $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$
A két komplex szám összege:
\( z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i \)
A két komplex szám különbsége:
\( z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i \)
Komplex számok szorzása
Van itt két komplex szám: $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$
A két komplex szám szorzata:
\(z_1 \cdot z_2 =(a+bi)\cdot (c+di)=a\cdot c-b\cdot d+(a\cdot d+b\cdot c)i \)
Imaginárius szám
A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) számból épülnek föl. A valós számok a szokásos x tengelyen helyezkednek el, míg az imaginárius számok egy erre merőleges y tengelyen, amit imaginárius tegelynek, vagy képzetes tengelynek nevezünk. Az imaginárius tengely egysége az i, ami olyan, mint a valós tengelyen az 1, csak éppen egy meglehetősen furcsa dolgot tud. Az imaginárius egység egy olyan komplex szám, aminek a négyzete $-1$ és $i$-vel jelöljük, azaz
\( i^2 = -1 \)
Komplex szám
A komplex számokat azért hívjuk "komplex"nek, mert két részből tevődnek össze. Egy valós és egy imaginárius (képzetes) számból épülnek föl. A valós számok a szokásos x tengelyen helyezkednek el, míg az imaginárius számok egy erre merőleges y tengelyen, amit imaginárius tegelynek, vagy képzetes tengelynek nevezünk. A komplex számok egy valós számból és egy imaginárius számból tevődnek össze:
\( z = a + bi \)
Itt $a$ és $b$ valós számok, az $i$ pedig az imaginárius egység, ami azt tudja, hogy $i^2 = -1 $.
Magukat a valós számokat és az imaginárius számokat is komplex számnak tekinthetjük. A valós számok olyan komplex számok, amelyeknek az imaginárius része nulla, míg az imaginárius számok olyan komplex számok, amelyeknek a valós része nulla. A komplex számok egy síkon, az úgynevezett komplex számsíkon helyezkednek el. Kicsit olyanok, mint a koordinátageometriában a kétdimenziós sík vektorai, ahol az i és j bázisvektorkat szokás használni, az x tengelynél az i és az y tengelynél a j vektorral. Ennek az analógiának köszönhetően vannak, akik az imaginárius számokat nem is i-vel, hanem j-vel jelölik. Bár ez segíthet erősíteni az analógiát a sík vektoraival, de mégis zavaró, mivel aki komolyabban is fogalakozik a komplex számokkal, a hivatalos jelöléssel fog találkozni, ahol az imaginárius tengelyen i-k vannak.
Komplex számsík
A valós számokat úgy érdemes elképzelni, mint egy koordinátarendszer x tengelyét. És minden helyet ki is töltenek a valós számok ezen a számegyenesen. A komplex számok egy valós és egy imaginárius (képzetes) részből épülnek föl, és szemléltetésükhöz nem egy, hanem két koordinátatengelyre van szükség. Az x tengelyen vannak a valós számok, az y tengelyen pedig az imaginárius, vagyis a képzetes számok. A valós számok tengelyén az egység a szokásos 1, míg az imaginárius számok tengelyén az egység az i. A kétb tengely által kifeszített síkot nevezzük komplex számsíknak, vagy másknt Gauss-féle számsíknak.
Komplex számok és a komplex számok konjugáltja
Van itt ez a komplex szám:
\( z=a+bi \)
Komplex számoknak van ilyenje, hogy imaginárius egység:
\( i^2=-1 \)
Komplex számok konjugáltja:
\( \overline{z} = a-bi \)
Komplex szám abszolútértéke
Van itt ez a komplex szám: $ z= a+bi $
Ennek a komplex számnak az abszolútértéke:
\( \mid z \mid = \sqrt{a^2+b^2} \)
Komplex számok trigonometrikus alakja
A $z=a+bi$ komplex szám trigonometrikus alakja:
\( z=r \left( \cos{ \theta } + i \sin{ \theta} \right) \), ahol
\( r=\sqrt{a^2+b^2} \quad \cos{\theta }=\frac{a}{r} \)
Komplex számok szorzása és osztása trigonometrikus alakban
Van itt két komplex szám trigonometrikus alakban: $ z_1 = r_1 \left( \cos{ \theta_1} + i \sin{\theta_1} \right)$, $z_2 = r_2 \left( \cos{ \theta_2} + i \sin{\theta_2} \right) $
Komplex számok szorzása trigonometrikus alakban:
\( z_1 z_2 = r_1 r_2 \left( \cos{ \left( \theta_1 +\theta_2 \right) } + i \sin{ \left( \theta_1 + \theta_2 \right)} \right) \)
Komplex számok osztása trigonometrikus alakban:
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos{ \left( \theta_1 - \theta_2 \right)} + i \sin{ \left( \theta_1 - \theta_2 \right)} \right) \)
Komplex számok hatványozása trigonometrikus alakban
Van itt ez a komplex szám trigonometrikus alakban: $r \left( \cos{\theta} + i \sin{ \theta} \right) $
Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik hatványa:
\( z^n = r^n \left( \cos{n \theta} + i \sin{ n \theta} \right) \)
Gyökvonás komplex számok trigonometrikus alakjában
Van itt ez a komplex szám trigonometrikus alakban: $z=r \left( \cos{\theta} + i \sin{\theta} \right) $
Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik gyöke:
\( \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos{ \frac{\theta + 2k\pi}{n}} + i \sin{ \frac{ \theta + 2k\pi}{n}} \right) \)
Komplex számok szorzása és osztása exponenciális alakban
Van itt két komplex szám exponenciális alakban: $ z_1 = r_1 e^{i \theta_1}$, $z_2 = r_2 e^{i \theta_2} $
Komplex számok szorzása exponenciális alakban:
\( z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i \left( \theta_1 + \theta_2 \right)} \)
Komplex számok osztása exponenciális alakban:
\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i \left( \theta_1 - \theta_2 \right)} \)
Komplex számok hatványozása exponenciális alakban
Van itt ez a komplex szám exponenciális alakban: $z=r e^{i \theta}$
Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik hatványa:
\( z^n = r^n e^{n i \theta} \)
Gyökvonás komplex számok exponenciális alakjában
Van itt ez a komplex szám exponenciális alakban: $z=r e^{i \theta}$
Ekkor ennek a komplex számnak az $n$-edik gyöke:
\( \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n} } \)
Van itt két komplex szám: $z_1=4+3i$, $z_2=1+2i$.
˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \)
Van itt két komplex szám: $z_1=2+3i$, $z_2=1-2i$.
˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 - z_2 = ? \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \qquad \frac{z_1}{z_2}=? \)
Alakítsuk szorzattá az alábbi polinomokat.
a) \( x^2-9 \)
b) \( x^2+4 \)
c) \( x^4-81 \)
d) Oldjuk meg az alábbi másodokú egyenletet.
\( x^2+6x+13=0 \)
Hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre
a) $ |z-4i| \leq |z+2| $
b) $ |z-3+i|>2$
c) $ |z+6+3i|>|2z|$
Végezzük el az alábbi műveleteket.
a) \( (1+i)^6=? \)
b) \( \left( 1- \sqrt{3}i \right)^3 (-1+i)^2 = ? \)
a) \( z=1+i \qquad z^4 =? \)
b) Vonjunk a $z=1-\sqrt{3}i$ komplex számból harmadik gyököt.
Végezzük el a következő műveleteket.
a) \( \sqrt[5]{ \frac{-2+6i}{1+2i} } \)
b) \( (1+i)^4 \left( \sqrt{3} + i \right)^5 \)
c) \( \frac{i}{1+\sqrt{3}i} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( (6-i)^2 z+9+2i^3=\frac{-34i}{5-3i} \)
b) \( 4z^2+4z+17=0 \)
c) \( z^2+6i=0 \)
Végezzük el a következő műveleteket.
a) \( \left( \frac{-9+13i}{4-3i} \right)^{10} \)
b) \( \sqrt[4]{ \frac{16}{2-2i} \cdot (-1-i)^3 } \)
c) \( 2i \cdot ( \cos{80°}+i \sin{80°} ) \cdot \left( \sqrt{5}-i\sqrt{15} \right)^{10} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( \left( z^4-i \right) \cdot \left( z^2+7 \right) = 0 \)
b) \( \left( 2+\sqrt{3}i \right) \cdot z^5 + 2 -\sqrt{3}i = -3 \)
c) \( 2z^6+4\sqrt{2}z^3 +8 = 0 \)
a) Adjuk meg exponenciális alakba: \( -\sqrt{3}+i \)
b) Határozzuk meg az alábbi komplex szám valós és képzetes részének összegét.
\( (1+i)^{12} + \frac{ \sqrt{3} + i }{ (1-i)(\sqrt{3}-i)} \)
c) Adjuk meg a \( \left( \sqrt{2} \frac{i}{1+i} \right)^{999} \) komplex számot kanonikus alakban!
a) Egy a komplex számsíkon elhelyezkedő szabályos háromszög középpontja az origó, egyik csúcsa \( z_1 = 1+i \). Adjuk meg a további csúcsait!
b) Írjuk fel a komplex síkon annak a szabályos háromszögnek a csúcsait algebrai alakban, amelynek középpontja az origó, és egyik csúcsa a \( z_1 = 1+2i \) pont!
c) Adjuk meg az összes olyan komplex számot, amelynek az egyik hetedik gyöke megegyezik az egyik harmadik gyökével!
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( iz^3 = \frac{1}{2} \cdot (1-i)^8 \)
b) \( (1 + i^{1001} + i \cdot z + z)( z^2 + 2z + 10) = 0 \)
c) \( z^6 - \frac{3-i}{2+i}z^2 = 0 \)
d) \( z^6 + 7z^3 - 8 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!
a) \( z-|z|=1+i \)
b) \( |z| + z = 2+i \)
Lássuk, mik azok a komplex számok.
Ehhez előszöris beszélgessünk egy kicsit a számokról.
Ez itt például 3.
Ez pedig 4.
És néha sajnos szükség van negatív számokra is.
Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is, amelyek arányokat fejeznek ki.
Ezeket racionális számoknak nevezzük.
Mondjuk ennek az egyenletnek a megoldása:
Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek a megoldásai nem racionális számok.
Így megjelennek az irracionális számok, amik feltöltik a racionális számok közötti hézagokat a számegyenesen.
És ezzel eljutottunk a valós számokhoz. A számegyenes minden pontjában egy valós szám van.
De bizonyos esetekben - főleg ha fizikusok is felbukkannak a közelünkben - olyan számokra is szükségünk van, amelyek meglehetősen szokatlan dolgokat tudnak.
Ilyeneket, mint például ez:
Így hirtelen nem sok olyan számot tudunk mondani ami ezt tudná, mert ugye
Ezeket a fura számokat, képzetes számoknak nevezték el.
Mivel pedig a valós számok már minden helyet elfoglaltak a számegyenesen, a képzetes számoknak egy erre merőleges tengelyen tudunk helyet szorítani.
Az imaginárius tengely egysége az .
És legfontosabb tulajdonsága, hogy .
Azokat a számokat, amelyek valós és imaginárius számokból tevődnek össze, komplex számoknak nevezzük.
A komplex számok tehát ilyen alakú számok, és az úgynevezett komplex számsíkon helyezkednek el.
Van itt két komplex szám
és most nézzük meg, hogyan kell ezeket összeadni vagy éppen összeszorozni.
Összeadásnál egyszerűen összeadjuk a valós részeket
és a képzetes részeket.
A szorzás már izgalmasabb.
De .
A legviccesebb pedig az osztás.
Nos ezzel fogjuk folytatni…
A komplex számok gondolata azon csalódottságunkból indult ki, hogy az
egyenletnek nincs valós megoldása.
Ezt a kis problémát akár egy legyintéssel is elintézhettük volna, de kiderült, hogy főleg fizikai kérdések megoldásához hasznos lenne, ha valahogy mégis varázsolnánk valamilyen megoldást.
Így kerültek képbe a mi kis képzeletbeli barátaink az imaginárius számok.
Lakóhelyük a valós számegyenesre merőleges imaginárius tengelyen található…
és legfőbb tulajdonságuk, hogy
.
A valós és képzetes számokból összeálló alakú számokat komplex számoknak nevezzük.
Most pedig lássuk, milyen műveleteket végezhetünk a komplex számokkal.
Van itt aztán egy fura dolog, amit úgy hívnak, hogy konjugált.
A komplex szám konjugáltja .
Ez a konjugálás tehát egy tükrözés a valós tengelyre.
Remek, és most jöhet a szorzás.
Nos az osztás érdekes lesz.
Nos az osztás érdekes lesz.
Megpróbáljuk eltüntetni a nevezőből az -t.
Ehhez segítségül hívjuk a konjugáltját.
Ez a kis trükk a konjugálttal mindig működik.
Ha egy komplex számot megszorzunk a konjugáltjával, akkor mindig valós számot kapunk:
És akkor is, ha összeadjuk őket:
Most pedig jó lenne, ha végre valami hasznunk is lenne ezekből a komplex számokból.
Van itt egy ilyen… nos egy polinom, és próbáljuk meg felbontani elsőfokú tényezők szorzatára.
Épp itt jön ez az azonosság:
Most próbáljuk meg szorzattá alakítani ezt:
Olyan azonosság nincs, hogy
ezért megpróbáljuk itt is az előzőt használni egy kis bűvészkedéssel.
Lássunk most egy bonyolultabbat.
A komplex számok egyik jelentős haszna, hogy a segítségükkel minden polinom felbontható elsőfokú tényezők szorzatára.
Ezt nevezik az algebra alaptételének.
Most pedig oldjunk meg néhány, korábban reménytelennek hitt másodfokú egyenletet.
Itt jön a megoldóképlet:
Egy komplex szám abszolútértéke a nullától való távolsága.
Ezt a távolságot egy Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk kiszámolni.
Nézzünk meg még egyet.
A megoldóképlet helyett itt megpróbálunk szorzattá alakítani.
Most pedig lássuk mire jók még ezek a komplex számok.
Próbáljuk meg ábrázolni a komplex számsíkon azokat a komplex számokat, amelyekre:
Az algebrai alakot használjuk,
vagyis
És most pedig koordinátageometriai rémtörténetek következnek.
Az
egy origó középpontú és r sugarú kör egyenlete.
Ez alapján az szintén egy kör, aminek a középpontja az origó és sugara r=2.
Az pedig azt jelenti, hogy a kör és a belseje.
Koordinátageometriai rémtörténetek:
Az egyenes egyenlete:
A kör egyenlete:
Lássuk hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre:
Az algebrai alakot használjuk, vagyis mindenhol z helyére
azt írjuk, hogy
Az egyenlőtlenség az egyenes valamelyik oldalát jelenti.
Nézzük meg melyiket.
Mindig úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.
Ez úgy tűnik stimmel, tehát az egyenesnek ez az oldala kell.
Nézzük aztán, mi a helyzet ezzel:
Az egyenlőtlenség a körvonal valamelyik oldalát jelenti.
Vagy a kör belsejét vagy a kör külsejét.
Most is úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.
Úgy tűnik, a külseje kell.
És mivel az egyenlőség nincs megengedve,
ezért a körvonal nem tartozik hozzá a tartományhoz.
Végül lássuk mit tud ez:
Szükség lesz egy kis teljes négyzetté kiegészítésre.
Van egy nagy probléma a komplex számok algebrai alakjával. Mégpedig az, hogy szinte lehetetlen hatványozni őket.
Próbáljuk csak meg kiszámolni, hogy mennyi
Nos ennyi.
De hát ez csak valami rossz vicc lehet…
Kell, hogy legyen valami egyszerű módszer a komplex számok hatványozására.
Ez itt a komplex számok szokásos algebrai alakja,
és most lecseréljük egy trigonometrikus alakra.
A fő gondolata ennek a trigonometrikus alaknak az, hogy a komplex számokat két új jellemző segítségével írja le, az egyik az abszolútérték, a másik a szög.
Az abszolútértéket r-el fogjuk jelölni,
a szöget pedig... nos hát a szöget pedig thétával. Íme itt is van:
A trigonometrikus alak meglepően egyszerűvé teszi a komplex számok szorzását,
és osztását.
Most pedig térjünk vissza a hatványozás kérdéséhez.
Szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi .
Itt jön a trigonometrikus alak.
És most elkezdjük hatványozni.
Az n-edik hatványt úgy kapjuk, hogy r-et n-edikre emeljük, a szöget pedig n-nel szorozzuk:
Így aztán
amit, ha kedvünk van, visszaírhatunk algebrai alakba.
És most próbáljuk meg kiszámolni ezt:
Lássuk először a trigonometrikus alakokat.
De van itt egy kis gubanc.
Ennek az egyenletnek, hogy
van egy másik megoldása is.
Azt, hogy a kettő közül melyikre van szükségünk, eldönthetjük pénzfeldobással is,
de jobb ha inkább készítünk egy ábrát.
Nos, a jelek szerint a negatív kell.
És most jöhet a szorzás.
A valós és a komplex gyökvonás közti különbségek.
Most bűvészmutatványok következnek:
A kérdés az, hogy hol van itt a trükk.
A helyzet az, hogy nincs trükk.
Amikor annak idején definiáltuk, hogy mit jelent például az, hogy , akkor azt mondtuk, hogy .
Annak ellenére, hogy van egy másik olyan szám is, amit négyzetre emelve 4-et kapunk, ez pedig a mínusz 2.
Komplexben a helyzet sokkal viccesebb.
Mert például
Igen ám, de
sőt
Így aztán négy olyan szám is van, amit negyedikre emelve 1-et kapunk.
Ez a kis kellemetlenség arra sarkall bennünket, hogy komplexben másként definiáljuk a gyökvonást, mint valósban.
Valósban egy szám n-edik gyöke mindig pontosan egy darab számot jelentett, komplexben viszont minden olyan számot amelynek n-edik hatványa az eredeti szám.
Tehát például
valósban komplexben
A komplex szám n-edik gyöke az összes olyan
komplex szám, ami azt tudja, hogy
és
Itt r a komplex szám abszolútértéke, ami egy valós szám.
Ez tehát egy szokásos valós gyökvonás - olyan, mint régen.
GYÖKVONÁS
Van itt ez a komplex szám:
És nézzük meg mi történik vele, ha mondjuk ötödik gyököt vonunk belőle.
Előszöris a trigonometrikus alakra lesz szükség.
Aztán jöhet a gyökvonás.
Ez öt darab komplex szám.
A k=5 már nem érdekes. Ilyenkor visszakapjuk a k=0 esetet.
Hát ennyit a gyökvonásról.
A komplex számoknak van még egy nagyon vicces alakja, amit exponenciális alaknak nevezünk.
Íme, itt is van:
Hogy mire jó az exponenciális alak?
Arra, hogy még egyszerűbbé tegye a komplexben végzett műveleteket.
Lássuk hogyan könnyíti meg az életünket az exponenciális alak.
Számoljuk ki például, hogy mennyi z4 az exponenciális alak segítségével.
Az úgynevezett Euler formula alapján
Itt van aztán egy másik ügy. Vonjunk ebből a komplex számból harmadik gyököt.
