Komplex számok

1. Van itt két komplex szám: $z_1=4+3i$, $z_2=1+2i$.

˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Van itt két komplex szám: $z_1=2+3i$, $z_2=1-2i$.

˙\( z_1+z_2=? \qquad z_1 - z_2 = ?  \qquad z_1 \cdot z_2 = ? \qquad \frac{z_1}{z_2}=? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Alakítsuk szorzattá az alábbi polinomokat.

a) \( x^2-9 \)

b) \( x^2+4 \)

c) \( x^4-81 \)

d) Oldjuk meg az alábbi másodokú egyenletet.

\( x^2+6x+13=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre

a)  $ |z-i| \leq |z+3| $

b) $ |z-3+i|>2$

c) $ |z+6+3i|>|2z|$

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Végezzük el az alábbi műveleteket.

a)  \( (1+i)^6=? \)

b) \( \left( 1- \sqrt{3}i \right)^3 (-1+i)^2 = ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Adjuk meg a $z=1+\sqrt{3}i$ komplex szám ötödik gyökét.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. 

a) \( z=1+i \qquad z^4 =? \)

b) Vonjunk a $z=1-\sqrt{3}i$ komplex számból harmadik gyököt.

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Adjuk meg a 8-adik egységgyököket

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Mennyi lesz az $n$-edik egységgyökök szorzata és összege?

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Végezzük el a következő műveleteket.

a) \( \sqrt[5]{ \frac{-2+6i}{1+2i} } \)

b) \( (1+i)^4 \left( \sqrt{3} + i \right)^5 \)

c)  \( \frac{i}{1+\sqrt{3}i} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( (6-i)^2 z+9+2i^3=\frac{-34i}{5-3i} \)

b) \( 4z^2+4z+17=0 \)

c)  \( z^2+6i=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Végezzük el a következő műveleteket.

a) \( \left( \frac{-9+13i}{4-3i} \right)^{10} \)

b) \( \sqrt[4]{ \frac{16}{2-2i} \cdot (-1-i)^3 } \)

c)  \( 2i \cdot ( \cos{80°}+i \sin{80°} ) \cdot \left( \sqrt{5}-i\sqrt{15} \right)^{10} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( \left( z^4-i \right) \cdot \left( z^2+7 \right) = 0 \)

b) \( \left( 2+\sqrt{3}i \right) \cdot z^5 + 2 -\sqrt{3}i = -3 \)

c)  \( 2z^6+4\sqrt{2}z^3 +8 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. 

a) Adjuk meg exponenciális alakba: \( -\sqrt{3}+i \)

b) Határozzuk meg az alábbi komplex szám valós és képzetes részének összegét.

\( (1+i)^{12} + \frac{ \sqrt{3} + i }{ (1-i)(\sqrt{3}-i)} \)

c) Adjuk meg a \( \left( \sqrt{2} \frac{i}{1+i} \right)^{999} \) komplex számot kanonikus alakban!

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. 

a) Egy a komplex számsíkon elhelyezkedő szabályos háromszög középpontja az origó, egyik csúcsa \( z_1 = 1+i \). Adjuk meg a további csúcsait!

b) Írjuk fel a komplex síkon annak a szabályos háromszögnek a csúcsait algebrai alakban, amelynek középpontja az origó, és egyik csúcsa a \( z_1 = 1+2i \) pont!

c) Adjuk meg az összes olyan komplex számot, amelynek az egyik hetedik gyöke megegyezik az egyik harmadik gyökével!

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( iz^3 = \frac{1}{2} \cdot (1-i)^8 \)

b) \( (1 + i^{1001} + i \cdot z + z)( z^2 + 2z + 10) = 0 \) 

c) \( z^6 - \frac{3-i}{2+i}z^2 = 0 \)

d) \( z^6 + 7z^3 - 8 = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán!

a) \( z-|z|=1+i \)

b) \( |z| + z = 2+i \) 

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Mik azok a komplex számok

Lássuk, mik azok a komplex számok.

Ehhez előszöris beszélgessünk egy kicsit a számokról.

Ez itt például 3.

Ez pedig 4.

És néha sajnos szükség van negatív számokra is.

Aztán fölmerülhet az igény olyan számokra is, amelyek arányokat fejeznek ki.

Ezeket racionális számoknak nevezzük.

Mondjuk ennek az egyenletnek a megoldása:

Vannak aztán olyan egyenletek, amiknek a megoldásai nem racionális számok.

Így megjelennek az irracionális számok, amik feltöltik a racionális számok közötti hézagokat a számegyenesen.

És ezzel eljutottunk a valós számokhoz. A számegyenes minden pontjában egy valós szám van.

De bizonyos esetekben - főleg ha fizikusok is felbukkannak a közelünkben - olyan számokra is szükségünk van, amelyek meglehetősen szokatlan dolgokat tudnak.

Ilyeneket, mint például ez:

Így hirtelen nem sok olyan számot tudunk mondani ami ezt tudná, mert ugye  

Ezeket a fura számokat, képzetes számoknak nevezték el.

Mivel pedig a valós számok már minden helyet elfoglaltak a számegyenesen, a képzetes számoknak egy erre merőleges tengelyen tudunk helyet szorítani.

Az imaginárius tengely egysége az .

És legfontosabb tulajdonsága, hogy .

Azokat a számokat, amelyek valós és imaginárius számokból tevődnek össze, komplex számoknak nevezzük.

A komplex számok tehát ilyen alakú számok, és az úgynevezett komplex számsíkon helyezkednek el.

Van itt két komplex szám

és most nézzük meg, hogyan kell ezeket összeadni vagy éppen összeszorozni.

Összeadásnál egyszerűen összeadjuk a valós részeket

és a képzetes részeket.

A szorzás már izgalmasabb.

De .

A legviccesebb pedig az osztás.

Nos ezzel fogjuk folytatni…

A komplex számok gondolata azon csalódottságunkból indult ki, hogy az

egyenletnek nincs valós megoldása.

Ezt a kis problémát akár egy legyintéssel is elintézhettük volna, de kiderült, hogy főleg fizikai kérdések megoldásához hasznos lenne, ha valahogy mégis varázsolnánk valamilyen megoldást.

Így kerültek képbe a mi kis képzeletbeli barátaink az imaginárius számok.

Lakóhelyük a valós számegyenesre merőleges imaginárius tengelyen található…

és legfőbb tulajdonságuk, hogy

.

A valós és képzetes számokból összeálló alakú számokat komplex számoknak nevezzük.

Most pedig lássuk, milyen műveleteket végezhetünk a komplex számokkal.

Van itt aztán egy fura dolog, amit úgy hívnak, hogy konjugált.

A  komplex szám konjugáltja .

Ez a konjugálás tehát egy tükrözés a valós tengelyre.

Remek, és most jöhet a szorzás.

Nos az osztás érdekes lesz.


Műveletek komplex számokkal

Nos az osztás érdekes lesz.

Megpróbáljuk eltüntetni a nevezőből az -t.

Ehhez segítségül hívjuk a konjugáltját.

Ez a kis trükk a konjugálttal mindig működik.

Ha egy komplex számot megszorzunk a konjugáltjával, akkor mindig valós számot kapunk:

És akkor is, ha összeadjuk őket:

Most pedig jó lenne, ha végre valami hasznunk is lenne ezekből a komplex számokból.


Faktorizáció

Van itt egy ilyen… nos egy polinom, és próbáljuk meg felbontani elsőfokú tényezők szorzatára.

Épp itt jön ez az azonosság:

Most próbáljuk meg szorzattá alakítani ezt:

Olyan azonosság nincs, hogy

ezért megpróbáljuk itt is az előzőt használni egy kis bűvészkedéssel.

Lássunk most egy bonyolultabbat.

A komplex számok egyik jelentős haszna, hogy a segítségükkel minden polinom felbontható elsőfokú tényezők szorzatára.

Ezt nevezik az algebra alaptételének.

Most pedig oldjunk meg néhány, korábban reménytelennek hitt másodfokú egyenletet.

Itt jön a megoldóképlet:

Egy komplex szám abszolútértéke a nullától való távolsága.

Ezt a távolságot egy Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk kiszámolni.

Nézzünk meg még egyet.

A megoldóképlet helyett itt megpróbálunk szorzattá alakítani.

Most pedig lássuk mire jók még ezek a komplex számok.


A komplex számok abszolútértéke, halmazok a komplex számsíkon

Próbáljuk meg ábrázolni a komplex számsíkon azokat a komplex számokat, amelyekre:

Az algebrai alakot használjuk,

vagyis  

És most pedig koordinátageometriai rémtörténetek következnek.

Az

egy origó középpontú és r sugarú kör egyenlete.

Ez alapján az  szintén egy kör, aminek a középpontja az origó és sugara r=2.

Az  pedig azt jelenti, hogy a kör és a belseje.

Koordinátageometriai rémtörténetek:

Az egyenes egyenlete:

A kör egyenlete:

Lássuk hol helyezkednek el a komplex számsíkon azok a komplex számok, amelyekre:

Az algebrai alakot használjuk, vagyis mindenhol z helyére

azt írjuk, hogy  

Az egyenlőtlenség az egyenes valamelyik oldalát jelenti.

Nézzük meg melyiket.

Mindig úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.

Ez úgy tűnik stimmel, tehát az egyenesnek ez az oldala kell.

Nézzük aztán, mi a helyzet ezzel:

Az egyenlőtlenség a körvonal valamelyik oldalát jelenti.

Vagy a kör belsejét vagy a kör külsejét.

Most is úgy érdemes kísérletezni, hogy a=0 és b=0.

Úgy tűnik, a külseje kell.

És mivel az egyenlőség nincs megengedve,

ezért a körvonal nem tartozik hozzá a tartományhoz.

Végül lássuk mit tud ez:

Szükség lesz egy kis teljes négyzetté kiegészítésre.


A trigonometrikus alak

Van egy nagy probléma a komplex számok algebrai alakjával. Mégpedig az, hogy szinte lehetetlen hatványozni őket.

Próbáljuk csak meg kiszámolni, hogy mennyi

Nos ennyi.

De hát ez csak valami rossz vicc lehet…

Kell, hogy legyen valami egyszerű módszer a komplex számok hatványozására.

Ez itt a komplex számok szokásos algebrai alakja,

és most lecseréljük egy trigonometrikus alakra.

A fő gondolata ennek a trigonometrikus alaknak az, hogy a komplex számokat két új jellemző segítségével írja le, az egyik az abszolútérték, a másik a szög.

Az abszolútértéket r-el fogjuk jelölni,

a szöget pedig... nos hát a szöget pedig thétával. Íme itt is van:

A trigonometrikus alak meglepően egyszerűvé teszi a komplex számok szorzását,

és osztását.

Most pedig térjünk vissza a hatványozás kérdéséhez.

Szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi .

Itt jön a trigonometrikus alak.

És most elkezdjük hatványozni.

Az n-edik hatványt úgy kapjuk, hogy r-et n-edikre emeljük, a szöget pedig n-nel szorozzuk:

Így aztán

amit, ha kedvünk van, visszaírhatunk algebrai alakba.

És most próbáljuk meg kiszámolni ezt:

Lássuk először a trigonometrikus alakokat.

De van itt egy kis gubanc.

Ennek az egyenletnek, hogy

van egy másik megoldása is.

Azt, hogy a kettő közül melyikre van szükségünk, eldönthetjük pénzfeldobással is,

de jobb ha inkább készítünk egy ábrát.

Nos, a jelek szerint a negatív kell.

És most jöhet a szorzás.


Gyökvonás komplexben

A valós és a komplex gyökvonás közti különbségek.

Most bűvészmutatványok következnek:

A kérdés az, hogy hol van itt a trükk.

A helyzet az, hogy nincs trükk.

Amikor annak idején definiáltuk, hogy mit jelent például az, hogy , akkor azt mondtuk, hogy .

Annak ellenére, hogy van egy másik olyan szám is, amit négyzetre emelve 4-et kapunk, ez pedig a mínusz 2.

Komplexben a helyzet sokkal viccesebb.

Mert például

Igen ám, de

sőt

Így aztán négy olyan szám is van, amit negyedikre emelve 1-et kapunk.

Ez a kis kellemetlenség arra sarkall bennünket, hogy komplexben másként definiáljuk a gyökvonást, mint valósban.

Valósban egy szám n-edik gyöke mindig pontosan egy darab számot jelentett, komplexben viszont minden olyan számot amelynek n-edik hatványa az eredeti szám.

Tehát például

valósban               komplexben

A   komplex szám n-edik gyöke az összes olyan

komplex szám, ami azt tudja, hogy

 és      

Itt r a komplex szám abszolútértéke, ami egy valós szám.

Ez tehát egy szokásos valós gyökvonás - olyan, mint régen.

GYÖKVONÁS

Van itt ez a komplex szám:

És nézzük meg mi történik vele, ha mondjuk ötödik gyököt vonunk belőle.

Előszöris a trigonometrikus alakra lesz szükség.

Aztán jöhet a gyökvonás.

Ez öt darab komplex szám.

A k=5 már nem érdekes. Ilyenkor visszakapjuk a k=0 esetet.

Hát ennyit a gyökvonásról.


Az exponenciális alak

A komplex számoknak van még egy nagyon vicces alakja, amit exponenciális alaknak nevezünk.

Íme, itt is van:

Hogy mire jó az exponenciális alak?

Arra, hogy még egyszerűbbé tegye a komplexben végzett műveleteket.

Lássuk hogyan könnyíti meg az életünket az exponenciális alak.

Számoljuk ki például, hogy mennyi z4 az exponenciális alak segítségével.

Az úgynevezett Euler formula alapján

Itt van aztán egy másik ügy. Vonjunk ebből a komplex számból harmadik gyököt.


n-edik egységgyökök

Újabb n-edik egységgyökök

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok

FELADAT | Komplex számok