- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
- Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Összetett függvény, értékkészlet, értelmezési tartomány
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
Logaritmus
$log_{a}{x}$ azt mondja meg, hogy $a$-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy $x$-et kapjunk.
Logaritmus azonosságok
\( \log_{a}{xy} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ \frac{x}{y} } = \log_{a}{x} - \log_{a}{y} \)
\( \log_{a}{ x^n } = n\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ \sqrt[n]{x^k} } = \frac{k}{n}\log_{a}{x} \)
\( \log_{a}{ x } = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a} } \)
Logaritmikus egyenlet megoldása
A logaritmikus egyenletek megoldásának lényege, hogy ilyen alakra jussunk:
\( log_{a}{x} = b \)
Mert innen a logaritmus definíciója miatt az következik, hogy
\( x = a^b \)
Ahhoz, hogy a bonyolúltabb egyenleteket is ilyen alakra hozzuk, a logaritmus azonosságait használjuk.
a) \( \log_{3}{81} = \; ? \)
b) \( \log_{8}{2} = \; ? \)
c) \( \log_{8}{16} = \; ? \)
d) \( \log_{81}{27} = \; ? \)
e) \( 3^x = 7 \qquad x=? \)
f) \( 4^{x+3}+5 = 13 \qquad x=? \)
a) Bob laborjában baktériumok tenyésztésével foglalkozik. A baktériumok mennyiségének alakulását ez a képlet adja meg:
$R=5\cdot 2^x$
Itt $x$ jelöli az eltelt időt órában megadva és $R$ pedig azt jelenti, hogy $x$ óra elteltével hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Hány óra alatt lesz a tenyészetben 30 milligramm baktréium?
b) Egy másik baktériumok mennyiségének alakulását ez a függvény írja le:
$K(t)=K_0 \cdot \sqrt{3}^{\frac{t}{24}}$
Itt $K_0$ azt jelenti, hogy hány milligramm baktérium volt kezdetben, $t$ az eltelt idő percben, $K(t)$ pedig azt adja meg, hogy $t$ idő múlva hány milligramm baktérium van a tenyészetben.
Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mennyi lesz másfél óra múlva?
Hány perc alatt lesz 54 milligramm baktérium a tenyészetben, ha kezdetben 12 milligramm volt?
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{x}+\log_{3}{16} = 4 \)
b) \( \log_{4}{x}+\log_{4}{(x-4)} = \log_{4}{5} \)
c) \( \log_{3}{(x-13)} + \log_{3}{(x+11)} = 4 \)
d) \( \log_{2}{(x-3)} + \log_{2}{(x-7)} = \log_{2}{5} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenleteket
a) \( \log_{3}{(x+5)} = \log_{3}{(x-2)} +2 \)
b) \( \lg{ (x+7)^2} - \lg{ (3x+1)} = \lg{16} \)
c) \( \lg{ (x-2) } + \lg{ (x+5)} = \lg{18} \)
Oldjuk meg a következő logaritmusos egyenlőtlenségeket.
a) \( \log_{\sqrt{5}}{(x+4)} - \log_{\sqrt{5}}{12} \geq \log_{\sqrt{5}}{x-1)} \)
b) \( \log_2{(x-5)}-\log_2{(x+4)} \geq 3 \)
c) \( \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{\left( x^2 + 16 \right) } \leq \log_{ \frac{5}{\sqrt{26}}}{ \left( 9x-4 \right) } \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( x^2 \cdot \log_{2}{x} - 3x^2 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{3}^2{x} - 3 \log_{3}{x} -4 = 0 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{ \frac{x^2-1}{x+3} } = \log_{5}{(x+9)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{x } + 8\cdot \log_{x}{2} = 6 \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{2}{(x+5)} + \log_{2}{(x-3)} = 1+\log_{2}{ \left( x^2+9 \right)} \)
Oldjuk meg az alábbi egyenletet
\( \log_{5}{x} +1 = 3\log_{x}{5x} \)
Színre lép a logaritmus
És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.
Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.
Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.
Itt van például ez:
Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.
Nos 23=8, tehát a válasz…
Vagy nézzük meg ezt:
Nos lássuk csak
Itt jön aztán egy nehezebb ügy:
A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.
A jó válasz:
Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:
A kérdés, 8 a hányadikon a 16.
Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.
Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,
utána pedig a 2-ből 16-ot.
Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:
Sőt ez sem:
Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.
LOGARITMUS AZONOSSÁGOK
A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez
Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.
És voila.
Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy
akkor ebből így kapjuk meg x-et.
A megfordítását is jegyezzük meg, ha
akkor így kapjuk meg x-et.
Exponenciális egyenlet megoldása
Logaritmikus egyenlet megoldása
Oldjuk meg például ezeket:
Most pedig lássuk a függvényeket.
Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?
Készítsünk erről egy rajzot.
Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:
A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.
Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.
Valahogy így…
Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.
Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.
Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…
Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.
De így is kijön.
Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…
Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.
64,625 perc
Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?
Kezdetben van valamennyi baktérium.
Aztán megduplázódik…
aztán megint megduplázódik.
És így tovább.
A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:
Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.
Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.
Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.
És most nézzük, hogyan tovább.
Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.
Vagyis egy generációs idő hossza…
25,24 perc.
A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.
A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.
Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:
Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:
Lássuk, mi történik 40 év alatt:
40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.
Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.
Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.
Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?
Itt jön a mi kis képletünk:
30 év alatt 12%-kal csökkent:
Na, ez így sajna nem túl jó…
Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.
A felezési idő tehát 162,7 év.
Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:
377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.
Hát, ennyi.
