Mátrixok és vektorok
1. Végezzük el az alábbi műveleteket.
a) \( 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
b) \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \)
c) \( \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \)
d) \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Adjuk meg az alábbi mátrixok transzponált mátrixait!
a) \( A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 1 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix} \)
b) \( B=\begin{pmatrix} 5 & 7 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
c) \( C=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 6 \end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Végezzük el az alábbi műveleteket.
a) \( 3\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \)
b) \( \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \)
c) \( \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
d) \( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Számítsuk ki az alábbi két vektor által bezárt szöget.
\( \underline{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Van itt néhány vektor, és végezzük el velük a következő műveleteket.
\( A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \)
\( C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7 \\ 3 & 1 & 8 \end{pmatrix} \quad \underline{d}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \)
\( E=< 2 \; 5 \; 7 > \)
a) \( A \cdot \underline{b} \)
b) \( A \cdot C \)
c) \( A \cdot C^* \)
d) \( \underline{b^*} \cdot \underline{d} \)
e) \( \underline{b} \cdot \underline{d^*} \)
f) \( A^2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
a) Írjuk föl a $P(7,8,9)$ ponton átmenő és $\underline{v}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ irányvektorú egyenes egyenletét.
b) Írjuk föl a $P(3,5)$ ponton átmenő és a $4x+y=6$ egyenletű egyenesre merőleges egyenes síkbeli egyenletét.
c) Írjuk föl a $P(3,5,7)$ ponton átmenő és az $ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{6}=\frac{z-1}{9}$ egyenletrendszerű egyenesre merőleges sík térbeli egyenletét.
d) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.
e) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Számítsuk ki az alábbi vektorok vektoriális szorzatát.
a) \( \underline{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \underline{a} \times\underline{b}=\; ? \)
b) Írjuk föl a $P(1,1)$ és $Q(3,5)$ ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét.
c) Írjuk föl a $P(1,4,1)$ a $Q(3,5,7)$ és az $R(6,5,2)$ pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.
A mátrixok teljesen ártalmatlan teremtményei a matematikának.
Egy -as mátrix tulajdonképpen nem más, mint egy táblázat, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll.
A mátrixokat az ABC nagy betűivel jelöljük. Itt van például ez:
Ez egy (2X3)-as mátrix.
A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,
és egy oszlopindexük.
A mátrixok elemeit kettős indexezéssel látjuk el. Az elemeknek van egy sorindexük,
és egy oszlopindexük.
Egy -as mátrix, ami n darab sorból és k darab oszlopból áll,
tehát valahogy így néz ki:
A mátrixok marhára hasznosak számunkra, erről fog szólni lényegében az egész lineáris algebra témakör.
Mielőtt azonban hasznosságukról személyesen is megbizonyosodhatnánk, előbb nézzük meg milyen műveleteket végezhetünk velük.
1.SKALÁRSZOROS
A skalár nem egy betegség, azt jelenti, hogy valamilyen szám, legtöbbször valós szám.
2.ÖSSZEADÁS
Egy -as mátrixhoz csak egy másik -as mátrixot adhatunk hozzá.
3.SZORZÁS
Na ez a legizgalmasabb.
Egy -as mátrixszal csak egy -es mátrixot szorozhatunk.
A szorzat mátrixnak annyi sora lesz, mint A-nak és annyi oszlopa, mint B-nek, elemei pedig úgy keletkeznek, hogy az A egyik sorát szorozzuk B-nek egy oszlopával
Jön a trükk, tudományos nevén Falk-séma. Ennek az a lényege, hogy a mátrixokat sarkosan helyezzük el, valahogy így:
Kész a szorzat!
A mátrixok szorzásának egyik érdekes tulajdonsága,
hogy nem kommutatív.
Ha például megpróbáljuk ezt a szorzást fordítva elvégezni,
kiderül, hogy nem is lehet.
Azokat a mátrixokat, amiknek csak egyetlen oszlopuk van, vektoroknak nevezzük.
A vektorokat az abc kis betűivel jelöljük és aláhúzzuk őket.
Itt van például két vektor:
Az vektor -es vektor, a pedig -es, de a megemlítése teljesen felesleges, hiszen éppen azért nevezzük őket vektoroknak, mert csak egyetlen oszlopuk van.
Bőven elegendő tehát csak arról említést tenni, hogy hány darab számot tartalmaz maga a vektor. Ezeket a számokat a vektor koordinátáinak nevezzük.
Megnyugtató, hogy amit a geometriában vektornak tekintünk,
és amit az imént vektorként definiáltunk megfeleltethetők egymásnak.
Ha ugyanis veszünk mondjuk a térben három egyenest úgy,
hogy egymásra merőlegesek legyenek majd pedig
ellátjuk őket egy skálázással, akkor a geometriai vektorok
egyértelműen megfeleltethetők számhármasoknak.
Vagyis amikor vektorokról beszélünk, egyszerre gondolhatunk
-es mátrixokra és geometriai alakzatokra.
Lássuk milyen műveleteket tudunk vektorokkal végezni.
MŰVELETEK VEKTOROKKAL
1. SKALÁRSZOROS
példa:
2. ÖSSZEADÁS
példa:
TULAJDONSÁGOK:
kommutatív:
asszociatív:
3. SZORZÁS
skaláris szorzat: diadikus szorzat:
TULAJDONSÁGOK:
kommutatív:
nem asszociatív:
és
és
a skaláris szorzat:
diadikus szorzat:
TULAJDONSÁGOK:
nem kommutatív
nem asszociatív
példa:
és
a diadikus szorzat:
A kétféle szorzás közül a skaláris szorzat
nekünk sokkal hasznosabb lesz, így hát
elbúcsúzunk a diadikus szorzattól.
A skaláris szorzatra pedig bevezetünk
egy egyszerű jelölést.
Ezzel megspóroltunk néhány *-ot.
De lássuk mire jó még a skaláris szorzat.
Ismerkedjünk meg néhány speciális mátrixfajtával.
KVADRATIKUS MÁTRIX
négyzetes mátrix vagyis ugyanannyi sora van, mint oszlopa
példa:
DIAGONÁLIS MÁTRIX
olyan kvadratikus mátrix, aminek a főátlóján kívüli elemek nullák
példa:
A diagonális mátrixoknak tehát csak a főátlója érdekes, mivel az összes többi elem nulla.
Ezért aztán vannak akik csak a főátló elemeket írják le. Ez a fura jel
valójában egy diagonális mátrix
EGYSÉGMÁTRIX
olyan mátrix, ami azt tudja, hogy bármely mátrixra
az egységmátrixok olyan diagonális mátrixok, aminek minden főátló-eleme egy
INVERZ MÁTRIX
jele , és ez egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
(jobb inverz) (bal inverz)
Később látni fogjuk, hogy nem is olyan egyszerű elővarázsolni egy mátrix inverzét.
Ez az inverz dolog valós számoknál sokkal könnyebb, ott ugyanis
inverze mert ugye
inverze mert ugye
TRANSZPONÁLT
a mátrix sorainak és oszlopainak a felcserélése, jele vagy
SOR OSZLOP OSZLOP SOR
példa:
vagy
Azokat a mátrixokat, amelyek transzponáltja önmaga szimmetrikus mátrixnak nevezzük.
Itt van például egy szimmetrikus mátrix:
Mindezek jelenleg nem tűnnek túl izgalmasnak, de hamarosan majd elérkezik az idő, amikor kelleni fognak.
Most viszont jöjjenek a vektorok!
Van itt néhány mátrix és vektor és el kéne végezni velük pár műveletet.
Hát menjünk szépen sorban.
Ezzel van egy kis probléma. nem elvégezhető.
Mátrixok hatványozására sajnos nincsen semmilyen trükk, tehát ha ki kell számolnunk ennek a mátrixnak a négyzetét, akkor négyzetre emelést úgy tudjuk elvégezni, hogy megszorozzuk önmagával.
Ha mondjuk a negyedik hatványára lenne szükség, akkor az bizony elég sokáig tart.
De szerencsére csak a négyzete kell.
Már csak van hátra. Ezzel marhanagy mázlink van, ugyanis egy diagonális mátrix.
A diagonális mátrixokat pedig könnyű hatványozni, egyszerűen a főátló elemeit külön-külön hatványozzuk.
Ez a módszer sajnos csak diagonális mátrixokra működik, de ott szuperül.
Ha négyszer egymás után összeszoroznánk, persze akkor is ugyanez jönne ki,
csak kicsit lassabban, akinek van kedve próbálja ki és nézze meg.
A vektorok skaláris szorzása azon kívül, hogy remek szórakozás, arra is jó, hogy kiszámoljuk, két vektor mekkora szöget zár be egymással.
Van ugyanis a skaláris szorzásnak egy másik képlete is:
ahol a két vektor által bezárt szög,
vagyis az vektor hossza
vagyis a vektor hossza
A vektorok közti szöget úgy tudjuk kiszámolni, ha mindkét módon felírjuk a skaláris szorzatukat.
Itt van például
A skaláris szorzat a korábbi képlettel:
A skaláris szorzat az új képlettel:
Az és vektorok vektoriális szorzata az vektor,
ami merőleges az és vektorok által kifeszített síkra, és
A vektoriális szorzat eredményét úgy kapjuk meg, ha kiszámoljuk ezt a determinánst.
Vicces módon determinánsokról majd csak később lesz szó, de ennek ellenére ezt megpróbáljuk most kiszámolni.
Az első sor szerint fogjuk kifejteni, de aggodalomra semmi ok, minden nagyon egyszerű lesz. Nos itt is van:
Ezeket mindjárt kitaláljuk, itt pedig szándékosan nem plusz, hanem mínusz van.
Mindez sokkal érthetőbb lenne, ha ismernénk a kifejtési tételt, ami a determinánsok című résznél van. Ha valaki esetleg úgy gondolja, hogy megnézi mi is ez a kifejtési tétel, hát akkor feltehetően senki sem tudja ebben őt megakadályozni.
Most pedig térjünk a tárgyra.
Nézzünk meg egy konkrét példát.
Itt egy konkrét példa.
Most pedig térjünk a tárgyra.
e a vektoriális szorzat:
A vektoriális szorzat egyik tipikus geometriai alkalmazásához nézzünk meg két feladatot.
Az egyik feladat az, hogy írjuk föl két adott ponton átmenő egyenes síkbeli egyenletét, ehhez nem kell vektoriális szorzat.
A másik, hogy írjuk föl három adott ponton átmenő sík térbeli egyenletének egyenletét. Na ehhez már kell.
Írjuk föl a ponton átmenő és a
egyenletű egyenesre merőleges
egyenes síkbeli egyenletét.
Írjuk föl a ponton átmenő és az
egyenletrendszerű egyenesre merőleges
sík térbeli egyenletét.
A egyenes normálvektora
Ezt a vektort úgy tudjuk hasznosítani,
hogy -kal elforgatjuk, mert akkor
a keresett egyenes normálvektora lesz.
Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,
hogy felcseréljük a koordinátáit,
és az egyiket beszorozzuk -gyel.
Megvan a normálvektor, úgyhogy
az egyenesünk egyenlete:
Lássuk itt mit tehetnénk.
A sík normálvektora éppen az egyenes irányvektora.
Itt jön a sík egyenlete:
És végül jön egy másik tipikus feladattípus is.
Írjuk föl a és ponton
átmenő egyenes síkbeli egyenletét.
Írjuk föl a a és az
pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.
A ponton átmenő és
normálvektorú egyenes egyenlete:
A ponton átmenő és
normálvektorú sík egyenlete:
Pontunk az van bőven, normálvektorunk viszont
nincs egy darab se, úgyhogy csinálnunk kell.
Ezt elforgatjuk -kal, és meg is van a normálvektor.
Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,
hogy felcseréljük a koordinátáit,
és az egyiket beszorozzuk -gyel.
Az egyenes egyenlete:
Itt a síknál a vektoriális szorzatból lesz a normálvektor.
Hát ez kész.
Itt az ideje, hogy egy kis geometriával is foglalkozzunk.
Aggodalomra semmi ok, csak néhány apróság. Kezdjük a síkbeli vektorokkal és egyenesekkel.
EGYENES EGYENLETE: a ponton átmenő és
normálvektorú egyenes egyenlete:
Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora
az egyenesre merőleges nem nullvektor.
KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a és a pontok
közötti vektor koordinátás alakja
KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a és a pontok
egymástól mért távolsága
Térben minden ugyanez, csak három koordináta van.
SÍK EGYENLETE: a ponton átmenő és
normálvektorú sík egyenlete:
Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora
az egyenesre merőleges nem nullvektor.
KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a és a
pontok közötti vektor koordinátás alakja
KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a és a
pontok egymástól mért távolsága
Próbáljuk most meg előállítani az egyenes egyenletét térben. Ez nekünk hasznos lenne, viszont nem szerepel itt a listán.
Sajnos adódnak vele bizonyos problémák, de hát nézzük meg.
Állítsuk elő a ponton átmenő és
irányvektorú egyenes egyenletét.
Azért kell most normálvektor helyett irányvektort használni, mert sajnos térben
nem igazán egyértelmű, hogy mely vektorok merőlegesek az egyenesre.
Az irányvektor viszont egyértelmű, csak a hossza ami változhat.
Ha a az egyenesnek egy tetszőleges pontja, akkor
Ez a vektor az egyenes irányvektorának valahányszorosa
Ha akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor
Ha akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor
Ha akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor
Itt mindenki -val egyenlő, tehát akkor ők maguk is egyenlők.
Ezt hívjuk térben az egyenes egyenletrendszerének.
Nézzünk meg egy példát.
Írjuk föl a ponton átmenő és
irányvektorú egyenes egyenletét.
Itt az egyenes egyenletrendszere:
Sajna -vel gondok lesznek.
Lássunk most egy tipikus feladattípust.
Írjuk föl a ponton átmenő és a
egyenletű egyenesre merőleges
egyenes síkbeli egyenletét.
Írjuk föl a ponton átmenő és az
egyenletrendszerű egyenesre merőleges
sík térbeli egyenletét.
A egyenes normálvektora
Ezt a vektort úgy tudjuk hasznosítani,
hogy -kal elforgatjuk, mert akkor
a keresett egyenes normálvektora lesz.
Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,
hogy felcseréljük a koordinátáit,
és az egyiket beszorozzuk -gyel.
Megvan a normálvektor, úgyhogy
az egyenesünk egyenlete:
Lássuk itt mit tehetnénk.
A sík normálvektora éppen az egyenes irányvektora.
Itt jön a sík egyenlete:
És végül jön egy másik tipikus feladattípus is.
Írjuk föl a és ponton
átmenő egyenes síkbeli egyenletét.
Írjuk föl a a és az
pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.
A ponton átmenő és
normálvektorú egyenes egyenlete:
A ponton átmenő és
normálvektorú sík egyenlete:
Pontunk az van bőven, normálvektorunk viszont
nincs egy darab se, úgyhogy csinálnunk kell.
Ezt elforgatjuk -kal, és meg is van a normálvektor.
Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,
hogy felcseréljük a koordinátáit,
és az egyiket beszorozzuk -gyel.
Az egyenes egyenlete:
Itt a síknál viszont lesz egy kis probléma.
Térben ugyanis nincs olyan,
hogy egy vektort -kal
elforgatunk.
Valami mást kell tehát kitalálnunk, hogy megkapjuk a sík normálvektorát.
Egy olyan vektorra lenne szükségünk, amely merőleges a , és pontok által kifeszített háromszögre. Ez a vektor lesz az úgynevezett vektoriális szorzat.
