- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Exponenciális egyenletek
- Logaritmikus egyenletek
- Gyökös egyenletek
- Trigonometrikus egyenletek
- Halmazok
- Gráfok
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Vektorok
- Függvények ábrázolása
- Inverz függvények
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Trigonometria
1.
a) Egy kikötő világítótornyából a tenger szintje fölött 50 m magasságból egy hajó 8°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. Milyen távol van a hajó?
b) Egy másik világítótorony 30 m magas sziklára épült. A torony teteje 15°-os szögben, az alja 10°-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
a) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 12 cm hosszúak, és az alapon fekvő szöge 70 fokosak. Mekkora az alap és mekkora a háromszög területe?
b) Egy másik egyenlőszárú háromszögben az alap 16 cm, a szárak pedig 12 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögei és a terület?
c) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 10 cm-esek, a szárak által bezárt szög pedig 50 fokos. Mekkora a háromszög területe és az alapja?
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
a) Egy trapéz két alapja 20 cm és 10 cm, az egyik szára 12 cm és ez a szár 60°-os szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe és negyedik oldala?
b) Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm, a trapéz területe pedig 156 cm2. Mekkorák a trapéz oldalai?
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a területe, amelynek szárai 12 cm hosszúak, és a szárak által bezárt szög 30 fok.
b) Egy másik egyenlő szárú háromszögről azt tudjuk, hogy az alapon fekvő szögei 30 fokosak, és a szárak 10 cm hosszúak. Mekkora a háromszög területe?
c) Egy paralelogramma oldalainak hossza 16 cm és 12 cm, az általuk bezárt szög 30°. Mekkora a paralelogramma területe?
d) Egy paralelogramma egyik átlójának hossza 7 cm és ez az átló 40 fokos szöget zár be a paralelogramma 12 cm hosszú oldalával. Mekkora a paralelogramma területe?
e) Egy trapézról tudjuk, hogy a két alapja 16 cm és 10 cm, az egyik szára 8 cm és ez a szár 60 fokos szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe?
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Számoljuk ki annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
a) Egy toronyantennához 640 m hosszú egyenes út vezet, melynek emelkedése 10°. Az út elejéről az antenna csúcsa az úthoz képest 20° emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az antenna?
b) Egy hegycsúcs teteje 7 fokos emelkedési szögben látszik egy vele szomszédos 3089 méter magas hegyről. Ha a hegycsúcs irányában elindulunk egy 1 km hosszú 45 fokos lejtőn lefelé, akkor a lejtő aljáról ugyanennek a hegycsúcsnak a teteje 11,2 fokos emelkedési szögben látszik. Milyen magas a hegycsúcs?
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Egy derékszögű háromszögben \( \tan{\alpha}=\frac{3}{4} \), a háromszög területe pedig 24 \( cm^2 \).
a) Mekkorák a háromszög oldalai?
b) Mekkora a köré írható kör sugara?
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Egy hegycsúcsról nézve, a mellette levő völgyben álló 60 m magas torony teteje 20°, talppontja 24° depressziószög alatt látszik. Milyen magasan van a hegycsúcs a völgy fölött?
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Egy hegy csúcsán áll egy 15 m magas kilátó, amelynek talpponjtát és csúcsát a mellette levő völgyből 29°, és 32°-nyi emelkedési szög alatt látjuk. Milyen magas a hegy?
Megnézem, hogyan kell megoldani
Koszinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének koszinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{ szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Szinusz derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének szinuszát a következőképp értelmezzük:
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } \)
Szögfüggvények derékszögű háromszögben
\( \sin{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{a}{c} \)
\( \cos{\alpha} = \frac{ \text{szög melletti befogó} }{ \text{átfogó} } = \frac{b}{c} \)
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{szöggel szemközti befogó} }{ \text{szög melletti befogó} } = \frac{a}{b} \)
Tangens derékszögű háromszögekben
Derékszögű háromszög $\alpha$ hegyesszögének tangensét a következőképp értelmezzük:
\( \tan{\alpha} = \frac{ \text{ szöggel szemközti befogó } }{ \text{szög melletti befogó} } \)
Háromszög szinusz gammás területképlete
\( T = \frac{a \cdot b \cdot \sin{\gamma} }{2} \)
Körszelet területe
A körszelet területét úgy kapjuk, hogy először kiszámoljuk, hogy mekkora területű a körcikk, aztán pedig kivonjuk belőle az ebbe beleeső egyenlőszárú háromszög területét:
\( T_{\text{sz}} = \frac{ \alpha}{360°} \cdot r^2 \cdot \pi - \frac{ r^2 \cdot \sin{alpha} }{2} \)
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy kikötő világítótornyából a tenger szintje fölött 50 m magasságból egy hajó 8°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. Milyen távol van a hajó?
b) Egy másik világítótorony 30 m magas sziklára épült. A torony teteje 15°-os szögben, az alja 10°-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 12 cm hosszúak, és az alapon fekvő szöge 70 fokosak. Mekkora az alap és mekkora a háromszög területe?
b) Egy másik egyenlőszárú háromszögben az alap 16 cm, a szárak pedig 12 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögei és a terület?
c) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 10 cm-esek, a szárak által bezárt szög pedig 50 fokos. Mekkora a háromszög területe és az alapja?
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy trapéz két alapja 20 cm és 10 cm, az egyik szára 12 cm és ez a szár 60°-os szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe és negyedik oldala?
b) Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm, a trapéz területe pedig 156 cm2. Mekkorák a trapéz oldalai?
a) Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a területe, amelynek szárai 12 cm hosszúak, és a szárak által bezárt szög 30 fok.
b) Egy másik egyenlő szárú háromszögről azt tudjuk, hogy az alapon fekvő szögei 30 fokosak, és a szárak 10 cm hosszúak. Mekkora a háromszög területe?
c) Egy paralelogramma oldalainak hossza 16 cm és 12 cm, az általuk bezárt szög 30°. Mekkora a paralelogramma területe?
d) Egy paralelogramma egyik átlójának hossza 7 cm és ez az átló 40 fokos szöget zár be a paralelogramma 12 cm hosszú oldalával. Mekkora a paralelogramma területe?
e) Egy trapézról tudjuk, hogy a két alapja 16 cm és 10 cm, az egyik szára 8 cm és ez a szár 60 fokos szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe?
Számoljuk ki annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.
a) Egy toronyantennához 640 m hosszú egyenes út vezet, melynek emelkedése 10°. Az út elejéről az antenna csúcsa az úthoz képest 20° emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az antenna?
b) Egy hegycsúcs teteje 7 fokos emelkedési szögben látszik egy vele szomszédos 3089 méter magas hegyről. Ha a hegycsúcs irányában elindulunk egy 1 km hosszú 45 fokos lejtőn lefelé, akkor a lejtő aljáról ugyanennek a hegycsúcsnak a teteje 11,2 fokos emelkedési szögben látszik. Milyen magas a hegycsúcs?
Egy derékszögű háromszögben \( \tan{\alpha}=\frac{3}{4} \), a háromszög területe pedig 24 \( cm^2 \).
a) Mekkorák a háromszög oldalai?
b) Mekkora a köré írható kör sugara?
Egy hegycsúcsról nézve, a mellette levő völgyben álló 60 m magas torony teteje 20°, talppontja 24° depressziószög alatt látszik. Milyen magasan van a hegycsúcs a völgy fölött?
Egy hegy csúcsán áll egy 15 m magas kilátó, amelynek talpponjtát és csúcsát a mellette levő völgyből 29°, és 32°-nyi emelkedési szög alatt látjuk. Milyen magas a hegy?
És most néhány nagyon izgalmas kérdésre fogunk választ kapni.
Kezdjük azzal, hogy vajon hogyan lehet megmérni azt, hogy egy
csillag milyen távol van a Földtől.
Vannak persze az életben ennél sokkal fontosabb kérdések is,
például az, hogy hogyan szerezzünk több követőt az Instragramon,
de mégis foglalkozzunk most egy picit a csillagokkal.
A csillag távolságának kiszámolásához egy trükköt fogunk
használni. Megmérjük, hogy milyen szögben látszik a csilla a
Földről nézve nyáron… és télen.
Ez alapján pedig ki tudjuk számolni ezt a szöget.
Aminek a fele is egész lesz.
Azt már tudjuk, hogy milyen messze van a Föld a Naptól…
Úgy kb. 150 millió kilométerre.
És ez a két adat éppen elég is.
A csillagászok ugyanis magányos éjszakáikon kifejlesztettek egy függvényt a
derékszögű háromszögekre, amit szinusz névre kereszteltek el.
szöggel szemközti befogó
sin α = _______________________
átfogó
Ha mondjuk α = 1◦ akkor a csillag távolsága:
x = 8823,53 millió km
Van aztán egy ilyen is:
szög melletti befogó
__________________
átfogó
És végül itt van még ez:
szöggel szemközti befogó
______________________
szög melletti befogó
És most lássunk néhány érdekes történetet.
Kezdjük azzal, hogy milyen magasan áll a kecske…
mármint ez a kecske.
Ha tudjuk, hogy a szikla lábától 28 méterre…
éppen 30 fokos szögben látni a szikla tetejét.
x=16,17 méter
Egy másik világítótorony 30m magas sziklára épült. A torony teteje 15◦-os szögben, az alja
10◦-os szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?
m = 15,59 méter
A körök területének a kiszámolása nem túl izgalmas elfoglaltság.
Van itt rá ez a kis képlet:
Hogyha például a kör sugara 16 cm, akkor a területe…
Most nézzük, mi a helyzet a körcikkek területével.
A körcikk területe úgy aránylik a kör területéhez…
mint a körcikkhez tartozó középponti szög a 360o-hoz.
Próbáljuk is ki:
KÖRCIKK TERÜLETE:
És most lássunk valami izgalmasabbat.
Kell hozzá egy védősisak, egy kis benzin, néhány befőttesüveg, védőszemüveg…
Á, mégse, ez már túl izgalmas lenne.
Helyette inkább számoljuk ki ennek a körszeletnek a területét.
A körszelet területét úgy kapjuk meg, hogy először kiszámoljuk, hogy mekkora területű ez a körcikk…
aztán pedig kivonjuk belőle ennek az egyenlőszárú háromszögnek a területét.
Számoljuk ki például annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.
Készítsünk egy rajzot.
Itt van a kör.
Ez a szelő…
Ami a kör középpontjától 5 cm távolságban halad.
És itt volna a körszelet.
A körszelet területéhez szükségünk van a középponti szögre.
Amit ebből a derékszögű háromszögből fogunk kinyerni.
A szög melletti befogó és az átfogó segítségével.
Van itt ez a háromszög, amiben a csúcsokat az ABC nagy
betűivel jelöljük…
Az oldalakat pedig kis betűkkel úgy, hogy az A csúccsal
szemben az a oldal van, a B csúccsal szemben a b…
Most pedig megismerkedünk a háromszögek nevezetes
pontjaival és vonalaival.
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal
egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot
magasságpontnak nevezzük.
Vannak tompaszögű háromszögek is…
a magasságpont ilyen esetekben a háromszögön kívül tartózkodik.
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal
felezőpontjával összekötő szakasz.
Nos, ezek is mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot
hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1
arányban osztja.
A háromszög oldalfelező merőleges egyenesei szintén egy pontban
metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és a
háromszög köré írható kör középpontja.
A háromszög belső szögfelezői szintén egy pontban metszik
egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Most pedig lássunk néhány képletet a háromszögek
területének kiszámolására.
És itt egy kevésbé ismert képlet is:
Jönnek a trapézok…
A trapéz olyan négyszög, aminek van kép párhuzamos oldala.
Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.
És most lássuk a trapéz szögeit.
A trapéz területét általában így szokták kiszámolni:
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora,
olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak
is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van
köré írható köre.
Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.
De nem csak valami random helyre…
Hanem úgy, hogy derékszögű háromszögeket kapjunk.
Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm a trapéz területe pedig 156 cm2. Mekkorák a trapéz oldalai?
A körök területének a kiszámolása nem túl izgalmas elfoglaltság.
Van itt rá ez a kis képlet:
