- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Exponenciális egyenletek
- Logaritmikus egyenletek
- Gyökös egyenletek
- Trigonometrikus egyenletek
- Halmazok
- Gráfok
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor
- Vektorok
- Függvények ábrázolása
- Inverz függvények
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Gráfok
1.
a) Egy tárgyalás elején minden résztvevő mindenkivel kezet fog. Így összesen minden résztvevő 4 másikkal fog kezet. Hányan vesznek részt a tárgyaláson és hány kézfogás volt összesen?
b) Egy iskolai versenyen Anna, Bence, Cecil, Dávid, Elemér, Fanni, Gábor, és Hanna játszanak egymással. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik.
Anna már játszott Bencével, Gáborral és Hannával.
Bence már játszott Annával, Cecillel és Gáborral.
Cecil csak Bencével, Dávid pedig csak Elemérrel játszott.
Rajzoljuk fel azt a gráfot, ami a jelenlegi állást tartalmazza! Hány játszma van még hátra?
c) Egy ötpontú teljes gráf csúcsai A, B, C, D, E.
Mekkora a B csúcs fokszáma?
Ha a gráfból két élt törlünk, milyen lehetséges értékek adódhatnak B fokszámára?
Mekkora lesz a két él törlése után a csúcsok fokszámainak összege?
Hány élt kell törölni ahhoz, hogy minden csúcs fokszáma 3 legyen?
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
a) Egy hatfős társaságban mindenkit megkérdeztek, hány ismerőse van a többiek között (az ismerettségek kölcsönösek). Az első öt személy válasza: 5, 4, 3, 2, 1. Ábrázoljuk a gráffal a társaság ismerettségi viszonyait! Hány ismerőse van a hatodik személynek a társaságban?
b) Rajzoljunk egy olyan hatpontú gráfot, amelyben a pontok fokszáma: 0, 1, 2, 2, 3, 4.
c) Egy irodában összesen 11-en dolgoznak. Egy adott napon a 11 ember ennyi kollégájával találkozott: 0, 1, 2, 2, 2, 5, 0, 0, 4, 4, 2.
Ábrázoljuk a találkozásoknak egy lehetséges gráfját. Hány találkozás volt összesen?
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Oldjuk meg a könisbergi-hidak rejtélyét.
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Létezik-e olyan gráf, amelyben a pontok fokszáma:
a) 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6
b) 2, 2, 4, 4, 5, 7, 7, 7
c) 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 7
d) 5, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1
Megnézem, hogyan kell megoldani
5.
a) A városi középiskolás egyéni teniszbajnokság egyik csoportjába hatan kerültek: András, Béla, Csaba, Dani, Ede és Feri. A versenykiírás szerint bármely két fiúnak pontosan egyszer kell játszania egymással. Eddig András már játszott Bélával, Danival és Ferivel. Béla játszott már Edével is. Csaba csak Edével játszott, Dani pedig Andráson kívül csak Ferivel. Ede és Feri egyaránt két mérkőzésen van túl. Szemléltessük gráffal a lejátszott mérkőzéseket!
b) Egy iskola asztali tenisz bajnokságán hat tanuló vesz részt. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig Andi egy mérkőzést játszott, Barnabás és Csaba kettőt-kettőt, Dani hármat, Enikő és Feri négyet-négyet.
Rajzold le az eddig lejátszott mérkőzések egy lehetséges gráfját!
Lehetséges-e, hogy Andi az eddig lejátszott egyetlen mérkőzését Barnabással játszotta?
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Öt különböző számjegyet leírtunk egy papírlapra. Két számjegyet pontosan akkor kötünk össze egy vonallal (éllel), ha a különbségük páros szám (de egyik számjegyet sem kötjük össze önmagával). Így egy ötpontú gráfot kapunk. Döntsük el az alábbi állításokról, hogy igazak, vagy hamisak!
a) Lehetséges, hogy fagráfot kapunk.
b) Lehetséges, hogy nem összefüggő gráfot kapunk.
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Az ábrán egy 3x3-as kirakós játék (puzzle) sematikus képe látható. A kirakós játékot egy gráffal szemléltethetjük úgy, hogy a gráf csúcsai (A1, A2, ..., C3) a puzzle-elemeket jelölik, a gráf két csúcsa között pedig pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelelő puzzle-elemek közvetlenül (egy oldalban) kapcsolódnak egymáshoz a teljesen kirakott képben.
a) Rajzoljuk fel a kirakós játék gráfját, és határozzuk meg a fokszámok összegét!
b) Igazoljuk, hogy a megrajzolt gráfban nincs olyan kör, amely páratlan sok élből áll!
c) A teljesen kirakott képen jelöljünk meg a puzzle-elemek közül 7 darabot úgy, hogy a kirakós játék általuk alkotott részlete már ne legyen összefüggő!
Megnézem, hogyan kell megoldani
8.
a) Rajzolj egy olyan 5 pontú gráfot, melyben a pontok fokszáma: 4, 3, 3, 2, 2
b) Rajzolj egy olyan 6 pontú gráfot, melyben a pontok fokszáma: 0, 1, 2, 2, 3, 4.
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Öt különböző számjegyet leírunk egy papírlapra. Két számjegyet pontosan akkor kötünk össze egy vonallal, ha a különbségük páros szám (de egyik számjegyet sem kötjük össze önmagával). Így egy ötpontú gráfot kapunk.
a) Lehetséges, hogy fargráfot kapunk?
b) Lehetséges, hogy nem összefüggő gráfot kapunk?
Csúcs fokszáma
A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.
Egyszerű gráf
Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.
Fa
Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.
Egy $n$ csúcsú fának mindig $n-1$ darab éle van.
Gráfelméleti kör
Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.
Összefüggő gráf
Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.
Teljes gráf
Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.
Az $n$ csúcsú teljes gráf éleinek a száma:
\( \frac{ n (n-1)}{2} \)
Euler-kör
Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.
