- Algebra, nevezetes azonosságok
- Másodfokú egyenletek
- Elsőfokú és másodfokú egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Nagyságrend-őrző becslések
- Halmazok
- Kijelentések, kvantorok, logikai állítások
- Teljes indukció
- Komplex számok
- Mátrixok és vektorok
- Lineáris függetlenség, bázis, rang
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
- Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
- Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
- Ortogonális mátrixok, Fourier-együtthatók, Gram-Schmidt ortogonalizáció
- Függvények ábrázolása
- Összetett függvény, értékkészlet, értelmezési tartomány
- Inverz függvények
- Egyenletrendszerek
- Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek
- Gráfok
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Polinomok
- Feladatok függvényekkel
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Számelmélet
- Szöveges feladatok
- Síkgeometria
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Szinusztétel, Koszinusztétel
- Térgeometria
- A parabola
- Számtani és mértani sorozatok
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
- Statisztika
Számtani és mértani sorozatok
Számtani sorozat
Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.
A sorozat differenciája az a szám, amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél.
A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a differenciát $d$-vel jelöljük.
A számtani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:
\( a_n = a_1 + (n-1) d \)
Az első $n$ tagjának összegét pedig így:
\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \)
A számtani sorozatok tehát olyan legalább három számból álló számsorozatok ahol az egymással szomszédos tagok (egy tag, és az őt megelőző tag) különbsége állandó. Ezt az állandót, amely minden sorozatnál más és más, a sorozat különbségének, vagy másként differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük. A számtani sorozat elnevezés onnan ered, hogy a sorozatnak bármely három egymást követő tagjára igaz, hogy a három szám közül a középső a két másik számnak a számtani közepe.
Mértani sorozat
Mértani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három tagból álló sorozatokat, ahol bármely két egymást követő tag (egy tag és az őt megelőző tag) hányadosa állandó. Ezt a hányadost kvóciensnek nevezzük és $q$-val jelöljük. Egy kicsit egyszerűbben megfogalmazva egy sorozat akkor mértani sorozat, ha minden tagja pontosan $q$-szor annyi, mint az előző tag, ahol $q$ egy tetszőleges nem nulla szám, és ezt hívjuk a sorozat hányadosának, vagy másként kvóciensének.
Vagyis a sorozat kvóciense vagy hányadosa az a szám, ahányszor mindegyik tag nagyobb az előzőnél.
A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a kvóciensét vagy hányadosát $q$-val jelöljük.
A mértani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
Az első $n$ tagjának összegét pedig így:
\( S_n = a_1 \frac{ q^n -1 }{q-1} \)
Olyankor, amikor $q = 1$ ez az összegképlet nem működik. Ilyenkor a sorozat minden tagja az előző tag egyszerese, ami azt jelenti, hogy a sorozatnak minden tagja ugyanannyi. Ekkor az összegképlet így néz ki: \( S_n = a_1 \cdot n \)
A mértani sorozat elnevezés onnan ered, hogy a nem negatív tagú mértani sorozatokra igaz, hogy bármely három egymást követő tagja közül a középső tag a másik két tag mértani közepe.
a) Bob úgy dönt, hogy fejlesztenie kell egy kicsit a matektudását, ezért egy héten keresztül minden nap 5 perccel többet bambul a matekfüzete felett, mint előző nap. Az első nap 20 percig bírta. Mennyi ideig matekozik Bob a hetedik napon? Mennyit matekozik Bob a hét nap alatt összesen?
b) Egy számtani sorozat ötödik tagja 23 és nyolcadik tagja 47. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája? Mekkora az első 10 tag összege?
c) Egy számtani sorozat ötödik tagja 16 és a huszonharmadik tagja 70. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája?
a) Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?
b) Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_{10}$, ha
a) számtani sorozatról van szó.
b) mértani sorozatról van szó.
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=-7$ és $a_8=896$.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
b) Mennyi a második 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=5$ és $a_6=1215$. Igazoljuk, hogy ha az első n tag összege 5890-nél kisebb, akkor n legfeljebb 7 lehet, függetlenül attól, hogy számtani vagy mértani sorozatról van-e szó.
Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?
Egy sorozat hatodik tagja 1215, hetedik tagja pedig 3645. Mennyi a sorozat nyolcadik tagja és az első nyolc tagjának összege, ha
a) Számtani sorozatról van szó?
b) Mértani sorozatról van szó?
Egy mértani sorozat első tagja 9, az első hat tagjának összege 567, az első hét tag összege pedig 1143. Mennyi az első nyolc tag összege?
Egy számtani sorozat második tagja 3. A sorozat első tíz tagjának összege harmad akkora, mint a következő tíz tag összege. Határozzuk meg a sorozat első tagját és differenciáját.
Egy számtani sorozat első 10 tagjának az összege feleakkora, mint a következő tíz tag összege. Az első 15 tag összege 375. Határozza meg a sorozat első tagját!
Egy számtani sorozat első tagja 12. Az első tíz tag összege négyszer akkora, mint közülük a páros indexű tagok összege. Mekkora a sorozat differenciája?
Egy számtani sorozat első tagja 12. Az első tíz tag összege négyszer akkora, mint közülük a páros indexű tagok összege.
Mekkora a sorozat differenciája?
Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 35. Ha a harmadik számot 5-tel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy mértani sorozat első 4 tagjának az összege 105, az 5., 6., 7., és 8. tag összege 1680. Melyik ez a sorozat?
Egy mértani sorozat első három tagjának a szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három elemét kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 24. ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-öt, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozzuk meg a számtani sorozat differenciáját.
Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5-öt, 6-ot, 9-et és 15-öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozzuk meg a mértani sorozat kvóciensét.
Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 36. Ezen tagokhoz rendre 16-ot, 12-öt, és 10-et adva egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozzuk meg a számtani sorozatot.
Három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Ha a 2. számhoz 8-at adunk, egy számtani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Ha az így kapott sorozat 3. tagjához 64-et adunk, egy új mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Határozzuk meg az eredeti három számot.
Egy számtani sorozat első 3 tagjának az összege 30-cal kisebb, mint a következő 3 tag összege. Az első 6 tag összege 60. Melyik ez a sorozat?
Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 54-et, 39-et, 28-at, és 20-at adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozzuk meg a mértani sorozat kvóciensét.
Egy számtani sorozat 2. tagja 7, e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_{10} + 2 a_8 = 3 a_9$ és $a_4 = 24$. Mennyi $a_7$, ha
a) számtani sorozatról van szó.
b) mértani sorozatról van szó.
Végezzük el az alábbi feladatokat:
a) Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 20 ezer dollárral nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben?
b) Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 2%-kal nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben?
c) Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8 = 2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_10$, ha számtani sorozatról, illetve ha mértani sorozatról van szó.
Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a számtani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány számtani sorozatos feladatot. Megnézzük a számatani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait.
Bob úgy dönt, hogy fejlesztenie kell egy kicsit a matektudását, ezért egy héten keresztül minden nap 5 perccel többet bambul a matekfüzete felett, mint előző nap.
Az első nap 20 percig bírta. Mennyi ideig matekozik Bob a hetedik napon?
Bob matekozással töltött ideje egy sorozat.
A sorozat első tagja 20.
A második tagja 5-tel több…
És mindegyik tagja 5-tel több, mint az előző.
Azokat a sorozatokat, ahol minden tag ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.
Azt a számot amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél, a sorozat differenciájának hívjuk.
Most éppen a differencia 5.
A számtani sorozat n-edik tagját pedig így kapjuk meg.
A hetedik napon Bob matekozással töltött ideje pedig:
Hogyha tudjuk, hogy mennyi egy számtani sorozat első tagja…
És azt is tudjuk, hogy mennyi a differencia…
Akkor ezzel a képlettel a sorozat bármelyik tagját ki tudjuk számolni.
Számtani sorozat általános tagjának képlete:
Most számoljuk ki azt is, hogy mennyi időt töltött Bob matekozással a 7 nap alatt összesen.
Ezt úgy fogjuk megkapni, hogy szépen összeadogatjuk a sorozat első hét tagját:
Amit így fogunk jelölni.
És itt jön rá egy jó kis képlet.
Próbáljuk is ki…
Ennyit matekozik Bob a hét nap alatt összesen.
És most nézzünk valami vidámabb témát.
Itt egy újabb képletre lesz szükség, amit a számtani sorozat összegképletének nevezünk.
Egy számtani sorozat ötödik tagja 23 és nyolcadik tagja 47. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája? Mekkora az első 10 tag összege?
Készítsünk egy rajzot.
Ez egy számtani sorozat, tehát minden tagja ugyanannyival nagyobb az előzőnél.
Ez pedig Bob.
De rá most nem lesz szükség.
Nézzük meg, hogy mennyivel nagyobb a nyolcadik tag az ötödik tagnál.
Ennyivel.
És ez éppen a differencia háromszorosa.
A differencia meg is van.
Most lássuk, mennyi a sorozat első tagja.
Azt tudjuk, hogy az ötödik tag 23…
És a képlet szerint…
A sorozat első tagját ezzel a képlettel tudjuk kiszámolni.
Írjuk fel, mondjuk az ötödik tagra.
És most lássuk, mennyi az első 10 tag összege.
Itt is van a képlet…
Hát, sajnos az a10-ről nem tudunk semmit.
De ki tudjuk számolni.
5 11 17 23 29 35 41 47 50 53 56
16
Kész is.
Az egyetlen gubanc ezzel az összegképlettel az, hogy külön ki kellett hozzá számolni az a10-et.
Úgyhogy itt jön most egy másik képlet is.
Próbáljuk is ki ezt az új képletet és számoljuk ki újra az első 10 tag összegét.
A két képlet közül az egyszerűbb feladatoknál bőven jó az első is.
De az izgalmasabb esetekben a második jobban használható.
Végül itt jön még egy számtani sorozat.
Ötödik tagja 16 és a huszonharmadik tagja 73. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája?
Most is készítünk egy ábrát…
Ez az ötödik tag…
És a huszonharmadik…
Hát, inkább mégse csináljunk ábrát.
Ez a rajzolgatós módszer olyankor még működik, ha néhány tagot kell csak fölrajzolni…
De itt már jobban járunk a képlettel.
Hát igen, ez itt egy egyenletrendszer.
De pánikra azért nincs ok.
Szinte észre sem vesszük, olyan könnyen meg fogjuk oldani.
Az alsó egyenletből kivonjuk a felső egyenletet.
Csodás, ez kész is.
Lássuk, hogy mik azok a mértani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány mértani sorozatos feladatot. Megnézzük a mértani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Itt jön egy másik történet.
Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?
Ez egy sorozat, aminek a tagjait úgy kapjuk meg, hogy az előző tagot mindig 2-vel szorozzuk.
Az ilyen sorozatokat mértani sorozatnak nevezzük.
A számtani sorozatoknál azt csináltuk, hogy az előző taghoz mindig ugyanazt a számot hozzáadtuk…
Most pedig ugyanazzal a számmal szorozzuk.
Ezt a számot q-val jelöljük, és a mértani sorozat hányadosának nevezzük.
És, hogy miért éppen hányadosnak hívjuk…
Ha egy mértani sorozat bármelyik tagját elosztjuk az őt megelőző taggal…
Akkor mindig ugyanazt a számot kapjuk.
Ezt hívjuk a sorozat hányadosának.
És így jutunk el a mértani sorozatok hivatalos definíciójához is.
Egy sorozat akkor mértani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó.
Ez a hányados a q, amit kvóciensnek is szokás nevezni.
A mértani sorozatoknak is van összegképlete...
Most pedig nézzünk meg egy tanulságos történetet.
általános képlete pedig ez.
Mértani sorozat általános tagjának képlete
És itt jön még az összegképlet is.
Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?
Kezdjük a fiúkkal.
Minden nap ugyanannyival futnak többet, úgyhogy ez egy számtani sorozat.
A sorozat első tagja 3…
És a differencia pedig 2.
Lássuk, hogy mennyit futottak a tízedik napon…
Most pedig nézzük, mennyit futottak a 10 nap alatt.
Ennyit.
Ez egy piti feladat, úgyhogy ide a könnyített képlet is elég lesz.
A 10 nap alatt a fiúk 120 kilométert futottak összesen.
Jönnek a lányok…
Ők is minden nap ugyanannyival futnak többet, naponta 20%-kal.
Úgy néz ki, hogy ez is egy számtani sorozat lesz…
De a lányok sárgák…
Vagyis valami gubanc még lesz itt.
A lányok első nap 3 kilométert futnak.
A második nap pedig 20%-kal többet.
Aztán megint 20%-kal többet, de ez már a második nap 20%-a.
És ahogy napról napra többet futnak…
Ezek a 20%-ok is egyre nagyobbak lesznek.
Úgy néz ki, hogy ez mégsem számtani sorozat.
Hanem egy mértani sorozat.
A kérdés, hogy mit kezdhetnénk ezzel a +20%-kal.
Az, hogy a lányok naponta 20%-kal többet futnak, ezt jelenti:
Minden nap 1,2-szer annyit futnak, mint előző nap.
Ez tehát egy mértani sorozat lesz, aminek 1,2 a hányadosa.
:
A mértani sorozat képletével kiszámoljuk a a10-et, és meg is van, hogy mennyit futottak a lányok a tízedik napon.
Azt, hogy a tízedik napon mennyit futnak, a mértani sorozat képletével tudjuk kiszámolni.
Úgy tűnik, hogy 15,48 kilométert.
Végül nézzük, hogy mennyit futottak a lányok 10 nap alatt összesen.
