Számelmélet

1. 

a) Az 5728 osztható-e 3-mal?

b) A 4758 osztható-e 3-mal?

c) Az 52742 osztható-e 4-gyel?

d) A 61524 osztható-e 4-gyel?

e) A 3714 osztható-e 6-tal?

f) A 4326 osztható-e 9-cel?

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. 

A 47316 osztható-e 12-vel?

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. 

a) Bizonyítsuk be, hogy a 3-nál nagyobb ikerprímszámok összege osztható 12-vel!

b) Melyek azok a \( p \) prímszámok, amelyekre \( 2p-1 \) és \( 2p+1 \) is prím?

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. 

Adjuk meg az 1960 prímtényezős felbontását!

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. 

a) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor legalább az egyik befogó mérőszáma páros.

b) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor az egyik befogó mérőszáma osztható 3-mal.

c) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor van köztük legalább egy öttel osztható.

d) Igazoljuk, hogy bármely páratlan szám négyzetéből 1-et elvéve 8-cal osztható számot kapunk.

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. 

a) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan szám, akkor 9 osztója \( 11^n + 7^n \)-nek.

b) Milyen \( n \) természetes szám esetén osztható az alábbi kifejezés 16-tal?

\( 17^n + n\)

c) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan, akkor 37 osztója az alábbi kifejezésnek.

\( 1+2^{19} + 3^{19}+4^{19}+\dots + 36^{19} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


Oszthatóság, maradékos osztás

Legnagyobb közös osztó, relatív prímek

Prímek

A számelmélet alaptétele

Négyzetszámok

Izgalmasabb feladatok