Matematika alapok epizód tartalma:
Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogyan kell felírni az egyenes és a sík egyenletét. | Normálvektor, Két pont közti vektor, Két pont távolsága, Irányvektor, Az egyenes egyenlete síkban, A sík egyenlete térben, Az egyenes térbeli egyenletrendszere. |
Itt az ideje, hogy egy kis geometriával is foglalkozzunk.
Aggodalomra semmi ok, csak néhány apróság. Kezdjük a síkbeli vektorokkal és egyenesekkel.
EGYENES EGYENLETE: a ponton átmenő és
normálvektorú egyenes egyenlete:
Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora
az egyenesre merőleges nem nullvektor.
KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a és a pontok
közötti vektor koordinátás alakja
KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a és a pontok
egymástól mért távolsága
Térben minden ugyanez, csak három koordináta van.
SÍK EGYENLETE: a ponton átmenő és
normálvektorú sík egyenlete:
Emlékeztetőül, az egyenes normálvektora
az egyenesre merőleges nem nullvektor.
KÉT PONT KÖZTI VEKTOR: a és a
pontok közötti vektor koordinátás alakja
KÉT PONT TÁVOLSÁGA: a és a
pontok egymástól mért távolsága
Próbáljuk most meg előállítani az egyenes egyenletét térben. Ez nekünk hasznos lenne, viszont nem szerepel itt a listán.
Sajnos adódnak vele bizonyos problémák, de hát nézzük meg.
Állítsuk elő a ponton átmenő és
irányvektorú egyenes egyenletét.
Azért kell most normálvektor helyett irányvektort használni, mert sajnos térben
nem igazán egyértelmű, hogy mely vektorok merőlegesek az egyenesre.
Az irányvektor viszont egyértelmű, csak a hossza ami változhat.
Ha a az egyenesnek egy tetszőleges pontja, akkor
Ez a vektor az egyenes irányvektorának valahányszorosa
Ha akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor
Ha akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor
Ha akkor leosztunk vele, ha nulla, akkor
Itt mindenki -val egyenlő, tehát akkor ők maguk is egyenlők.
Ezt hívjuk térben az egyenes egyenletrendszerének.
Nézzünk meg egy példát.
Írjuk föl a ponton átmenő és
irányvektorú egyenes egyenletét.
Itt az egyenes egyenletrendszere:
Sajna -vel gondok lesznek.
Lássunk most egy tipikus feladattípust.
Írjuk föl a ponton átmenő és a
egyenletű egyenesre merőleges
egyenes síkbeli egyenletét.
Írjuk föl a ponton átmenő és az
egyenletrendszerű egyenesre merőleges
sík térbeli egyenletét.
A egyenes normálvektora
Ezt a vektort úgy tudjuk hasznosítani,
hogy -kal elforgatjuk, mert akkor
a keresett egyenes normálvektora lesz.
Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,
hogy felcseréljük a koordinátáit,
és az egyiket beszorozzuk -gyel.
Megvan a normálvektor, úgyhogy
az egyenesünk egyenlete:
Lássuk itt mit tehetnénk.
A sík normálvektora éppen az egyenes irányvektora.
Itt jön a sík egyenlete:
És végül jön egy másik tipikus feladattípus is.
Írjuk föl a és ponton
átmenő egyenes síkbeli egyenletét.
Írjuk föl a a és az
pontokon átmenő sík térbeli egyenletét.
A ponton átmenő és
normálvektorú egyenes egyenlete:
A ponton átmenő és
normálvektorú sík egyenlete:
Pontunk az van bőven, normálvektorunk viszont
nincs egy darab se, úgyhogy csinálnunk kell.
Ezt elforgatjuk -kal, és meg is van a normálvektor.
Síkbeli vektort úgy kell elforgatni -kal,
hogy felcseréljük a koordinátáit,
és az egyiket beszorozzuk -gyel.
Az egyenes egyenlete:
Itt a síknál viszont lesz egy kis probléma.
Térben ugyanis nincs olyan,
hogy egy vektort -kal
elforgatunk.
Valami mást kell tehát kitalálnunk, hogy megkapjuk a sík normálvektorát.
Egy olyan vektorra lenne szükségünk, amely merőleges a , és pontok által kifeszített háromszögre. Ez a vektor lesz az úgynevezett vektoriális szorzat.