Analízis 2 epizód tartalma:
Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük neked, hogy mi az a kettősintegrál. Kétváltozós függvények integrálása, A grafikon alatti térfogat, Integrálás téglalap alakú tartományon, Integrálás normáltartományon, A határok felcserélhetősége, A kettősintegrál kiszámolása, Kettősintegrál feladatok megoldással.
Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.
A függvény grafikonja egy vonal.
Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.
Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.
Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.
Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,
vagy fordítva.
Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál
ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.
Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.
Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.
Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…
és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.
A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.
Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.
x-et integráljuk, pedig csak konstans szorzónak számít.
És is konstans szorzónak számít.
Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.
De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.
Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.
Ezúttal y szerint.
Végül behelyettesítünk.
y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.
Hát ez kész.
Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.
Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…
de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.
Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.
x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.
Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…
Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.
A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .
És most kezdjünk el integrálni.
A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.
Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.
Mindig a belső integrálással kezdünk.
Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,
x meg olyan, mintha konstans lenne.
Aztán y helyére behelyettesítünk.
És ezt integráljuk x szerint.
A folytatás még izgalmasabb lesz…