Statisztika epizód tartalma:

Árindex, volumenindex, értékindex, Laspeyres-féle, Paasche-féle, Fischer-index, átlagformák, vásárlóerőparitás, infláció, indexsorok, lánc-indexsor, bázis-indexsor, árindexsor, volumenindexsor, értékindexsor

A képsor tartalma

INDEXEK

Árindex és volumenindex

Az alábbi táblázat egy ország személyszállítási költségeit tartalmazza közlekedési ágakra lebontva. Állapítsuk meg, hogy átlagosan mennyivel drágult a közlekedés 2010-ről 2011-re.

közlekedés

fajtája

Ár (p)

(EUR, 100 kilométerenként)

utasszám (q)

(évenként, 100 kilométerenként)

2010

2011

2010

2011

vasúti

16

17

980 000 000

950 000 000

közúti

16

18

990 000 000

900 000 000

légi

5

6

5 000 000

4 800 000

A egyes közlekedési fajtákban bekövetkezett áremelkedés mérésére az úgynevezett egyedi árindexeket használjuk. Ennek jele és úgy kapjuk meg, hogy a későbbi árat elosztjuk a korábbival. Az egyedi árindexek:

Százalékosan megadva a vasúti szállítás 6,25%-kal a közúti 12,5%-kal a légi 20%-kal drágult.

közlekedés

fajtája

Ár (p)

(EUR, 100 km-enként)

utasszám (q)

(évenként, 100 kilométerenként)

2010

2011

egyedi

árindex

2010

2011

egyedi volumenindex

vasúti

16

17

1,0625

980 000 000

950 000 000

0,97

közúti

16

18

1,125

990 000 000

900 000 000

0,9

légi

5

6

1,2

5 000 000

4 800 000

0,96

De mekkora volt az egész szektorra vonatkozó áremelkedés?

Ha az előbbi százalékokat átlagoljuk

azt kapjuk, hogy 12,9%-os volt az áremelkedés, ez azonban csalás.

Azért csalás, mert ha rápillantunk az utasforgalomra, akkor kiderül, hogy a legtöbben csak a vasutat és a közutat használták, itt pedig jóval 12,9% alatti az áremelkedés.

Valódi képet tehát úgy alkothatunk az áremelkedésről, ha az árakat az utasforgalom mértékével súlyozzuk. Ha a 2010-es utasforgalmi adatokat használjuk súlyoknak, azt bázisidőszaki súlyozásnak, ha pedig a 2011-es utasforgalmat használjuk, azt tárgyidőszaki súlyozásnak nevezzük. A bázis időszaki súlyozással kapott árindex

ami 9,4%-os áremelkedés.

Itt a forgalmi adatok csak súlyok, ezért van az, hogy a 2010-es és a 2011-es árakat is a 2010-es forgalmi adatokkal szorozzuk.

Az inflációt – vagyis a fogyasztói árindexet – általában így, tehát bázisidőszaki súlyozással szokás számolni. Ennek az az oka, hogy az árak jóval hamarabb kiderülnek, mint a fogyasztás mennyiségére vonatkozó adatok. Ha pedig ismerjük mindkét időszak árait, de csak a bázisidőszak fogyasztását, akkor kénytelenek vagyunk bázis időszak szerint súlyozni.

A mi esetünkben ismertek a tárgyidőszak fogyasztási adatai is, ezért ki tudjuk számolni a tárgyidőszaki súlyozású árindexet is.

vagyis 9,3%

A két árindex közötti eltérés általában minimális, de ha mégis aggasztónak találnánk ezt a kétféle eredményt, megnyugtatásul kiszámolhatjuk a Fischer-féle árindexet is. Ez a két eltérő súlyozású árindexet összegyúrja egy árindexbe:

Az utasforgalom változásának mérésére a volumenindexeket használjuk. Ez pont fordítottja az árindexeknek, itt ugyanis az árakat használjuk súlyoknak és a forgalom változását vizsgáljuk.

Ha a 2010-es árakat használjuk súlyoknak, az bázisidőszak volumenindex:

Ha a 2011-es árakat használjuk súlyoknak, az tárgyidőszaki volumenindex:

Jön itt is a Fischer:

ami meglepő módon 0,94, így a volumen változása 2010-ről 2011-re tehát 0,94, ami 6%-os csökkenést jelent.

Mindezt összefoglalva, az árindex a szektort érintő árváltozást méri, és súlyozhatjuk a bázisidőszak vagy a tárgyidőszak volumeneivel, a volumenindex pedig a forgalom változásának mértéke, amit súlyozhatunk a bázisidőszak vagy a tárgyidőszak áraival. A négyféle állatfajta tehát a következő:

Ár

P

Volumen

q

Bázis

időszaki

0

Árindex Laspeyres

/bázisidőszak szerinti/

Volumenindex Laspeyres

/bázisidőszak szerinti/

Tárgy

időszaki

1

Árindex Paasche

/tárgyidőszak szerinti/

Volumenindex Paasche

/tárgyidőszak szerinti/

A Fischer-féle árindex és volumenindex:

Az értékindex:

amiből

Ezek az átlagformák úgy kerülnek képbe, hogy a legtöbb feladatban hiányosak a táblázatok, vagyis sajnálatos módon nincs külön megadva és valamint és . Helyette ezek vannak, mint például ebben a feladatban:

Egy cég háromféle termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalom 2010-ben 16 ezer USD volt, ami 2011-re 12%-al nőtt.

termék

2010-es forgalom

%-os megoszlása

2011-es forgalom

%-os megoszlása

Eladási ár

változása

2011/2010%

A

20

25

104

B

30

15

109

C

50

60

102

összesen

100

100

a) Mekkora a Laspeyres-féle és a Paasche-féle árindex? Mi okozza az eltérésüket?

b) Mekkora a Fischer-féle volumenindex?

c) Az forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak?

Mindenek előtt be kell azonosítanunk, hogy ki kicsoda a táblázatban.

A forgalom jelenthet pénzforgalmat és áruforgalmat is. Mivel van egy olyan adat, amiből kiderül, hogy a forgalom dollárban van adva, ez most alighanem pénzforgalmat jelent, ami 2010-ben és 2011-ben .

Sajnos ezek az adatok csak %-ban vannak, de a forgalom oszlopok maradhatnak %-ban. Picit jobb lenne ugyan, ha meglennének a konkrét értékek, amik alighanem dollárban értendők, de mérhetnénk euróban is vagy tallérban, és bizonyára akad olyan valuta, amiben mérve a 2010-es forgalom éppen a megadott 20, 30, és 50.

Mondjuk tehénben fizetve éppen 100 tehén volt a 2011-es árbevétel, 20 tehénért adtak el A-típusú terméket, 30 tehénért B-típusút stb.

Nem tarthatjuk meg viszont a százalékokat az utolsó oszlopban. Ott ugyanis indexek, vagyis egyik évről másik évre történő változások szerepelnek és ahhoz, hogy képleteink működjenek, az indexeket tizedes tört alakban kell használni.

termék

2010-es forgalom

%-os megoszlása

2011-es forgalom

%-os megoszlása

Eladási ár

változása

2011/2010%

A

20

25

1,04

B

30

15

1,09

C

50

60

1,02

összesen

100

100

Most pedig gyűjtsünk egy kis ihletet az indexek átlagformáiból.

A kétféle árindex azért tér el, mert más súlyozást használtunk. A súlyok a volumenek, vagyis ezek változása okozza az eltérést. Mivel a 2010-es árindex nagyobb, a jobban dráguló termékekből több fogyott 2010-ben, mint 2011-ben.

Most, hogy ez ilyen megnyugtatóan megoldódott, térjünk rá a volumenindexekre.

Ezekhez először értékindexet számolunk.

A forgalom 12%-al nőtt 2010-ről 2011-re. Nos ez éppen az értékindex.

Volumenindexek úgy lesznek, hogy

Ekkor és

A volumenindexek:

és

A Fischer féle volumenindex pedig

A volumen átlagosan 7,7%-al nőtt.

Végül lássuk, a forgalom növekedésében mekkora szerepe volt az árnövekedésnek.

ezer USD.

Az árváltozásból eredő forgalom többlet 0,72 ezer USD.

5.1. Az alábbi táblázat az 5, 4 és 3 csillagos szállodák szobaárait és az egy hónapra jutó vendégéjszakák számát tartalmazza. Állapítsuk meg, hogy a szektorban mekkora volt az infláció, mely szállodatípusokban volt az áremelkedés infláció alatti, melyekben azok feletti. Állapítsuk meg a volumenindexet és értelmezzük az eredményt.

Szobaárak éjszakánként

(átlag)

Vendégéjszakák havi száma

(átlag)

2010

2011

2010

2011

5 csillagos

100 000

120 000

350

300

4 csillagos

60 000

68 000

600

500

3 csillagos

25 000

30 000

700

650

Az infláció a fogyasztói árindex, kiszámolásához bázisidőszaki súlyozást szokás használni.

Szükségünk van tehát az áradatokra és súlyokként pedig a bázisidőszaki volumenekre.

az infláció 17,28%-os.

Állapítsuk meg, mely szállodatípusoknál volt az áremelkedés infláció alatti, illetve feletti. Ehhez egyedi árindexeket számolunk.

Szobaárak éjszakánként

(átlag)

Egyedi árindexek

2010

2011

5 csillagos

100 000

120 000

120 000/100 000=1,2

4 csillagos

60 000

68 000

68 000/60 000=1,133

3 csillagos

25 000

30 000

30 000/25 000=1,2

Az egyes típusoknál tehát 20%, 13,3% illetve 20% volt az áremelkedés, ezekből infláció alatti a 4 csillagos szállodák egyedi árindexe.

Számítsuk ki a volumenindexet. Ehhez a q oszlopokat kell néznünk, súlyok pedig a 2011-es árak lesznek.

Szobaárak éjszakánként

(átlag)

Vendégéjszakák havi száma

(átlag)

2010

2011

2010

2011

5 csillagos

100 000

120 000

350

300

4 csillagos

60 000

68 000

600

500

3 csillagos

25 000

30 000

700

650

A szektorban tehát az eladási árakkal súlyozott visszaesés mértéke 1-0,8622 vagyis 13,78%. Ennyivel szűkült a piac 2010-ről 2011-re.

5.2. Egy irodaház háromféle irodatípussal rendelkezik, premium, classic+ és classic.

A négyzetméterenkénti bérleti díj és a forgalom alakulását 2010 és 2011-ben az alábbi táblázat tartalmazza. Ezen kívül tudjuk még, hogy 2010-ben a havi átlagos bevétel irodatípusonként 10 000, 16 000 és 12 000 euró volt.

irodatípus

Ár (p)

(EUR, négyzetméterenként)

Bérelt négyzetméterek

Változása (2010=100%)

2010

2011

(havi átlag)

premium

10

9

90%

classic+

8

6

80%

classic

5

5

95%

Állapítsuk meg, hogy a szektorban mekkora volt az infláció, mely irodatípusokban volt az árváltozás infláció alatti, melyekben azok feletti. Számítsuk ki a bázisidőszaki súlyozású volumenindexet és értelmezzük az eredményt.

Jönnek a képletek. Csak sajna ahhoz, hogy ezt a négyféle képletet alkalmazzuk, ismernünk kéne mind a négy hozzávaló adatot is, vagyis az árakat 2010-ben és 2011-ben, ezeket éppenséggel ismerjük is, és a volumeneket 2010-ben és 2011-ben, amit viszont nem tudunk. Csak a volumenek változását tudjuk 2010-ről 2011-re, ez van az utolsó oszlopban. Ha átírjuk őket százalékról századra, megkapjuk az egyedi volumenindexeket.

irodatípus

Ár (p)

négyzetméterenként (EUR)

Bérelt négyzet-méterek változása

(2010=100%)

egyedi volumen

index

2010

2011

(havi átlag)

premium

10

9

90%

0,9

classic+

8

6

80%

0,8

classic

5

5

95%

0,95

Most pedig muszáj lesz olyan képleteket kerítenünk, amik jók is valamire. Ezt a négy képletet ugyanis csak akkor tudjuk használni, ha mindkét időszakban adott az ár is és a volumen is. Szerencsére éppen itt jönnek az indexek átlagformái:

Számoljuk ki az inflációt, ami bázisidőszaki árindex.

Lássuk csak, milyen hasznosítható adataink vannak!

Van itt egyszer egy 2010-es havi bevétel, ez a és házilag elő tudjuk állítani az egyedi árindexet, ami , tehát mindjárt az első képlet jó is lesz.

Az infláció tehát -13,16%-os volt. Az árcsökkenés az egyes irodatípusoknál 10%, 25% és 0%, vagyis a classic+ esetében volt az átlagosnál nagyobb az árcsökkenés.

irodatípus

Ár (p)

négyzetméterenként (EUR)

Bérelt négyzet-méterek változása

(2010=100%)

egyedi volumen

index

2010

2011

(havi átlag)

premium

10

9

9/10=0,9

90%

0,9

classic+

8

6

6/8=0,75

80%

0,8

classic

5

5

5/5=1

95%

0,95

Ki kell még számolni a bázisidőszaki súlyozású volumenindexet. Ilyen képlet is van:

A bérlők számának visszaesése 2010-ről 2011-re tehát 13,63% a bázis időszak áraival súlyozva.

5.3. Egy könyvesbolt értékesítési adatai 2010-ben és 2011-ben az alábbiak, 2010-ben az árbevétel 611 000 USD volt.

Árbevétel megoszlása

2011-ben

2011-es árak

(2010=100%)

2011-es volumen

(2010=100%)

könyv

60%

104%

110%

cd-dvd

30%

106%

100%

térkép

10%

108%

98%

össz.

100%

Hány százalékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt?

Azonosítsuk be, hogy ki kicsoda. Az első oszlop árbevétel, és 2011-ben, vagyis tárgyévben, tehát . A következő oszlop az árak megváltozása, vagyis egyedi árindex, az utolsó pedig egyedi volumenindex.

Árbevétel megoszlása

2011-ben

2011-es árak

(2010=100%)

2011-es volumen

(2010=100%)

könyv

60%

104%

110%

cd-dvd

30%

106%

100%

térkép

10%

108%

98%

össz.

100%

Az árbevétel oszlopa maradhat 100%-ban. Picit jobb lenne ugyan, ha meglennének a konkrét értékek, amik alighanem dollárban értendők, de mérhetnénk euróban is vagy tallérban, és bizonyára akad olyan valuta, amiben mérve az árbevétel éppen a megadott 60, 30, és 10. Mondjuk tehénben fizetve éppen 100 tehén volt a 2011-es árbevétel, 60 tehénért vettek könyvet, stb.

Nem tarthatjuk meg viszont a százalékokat a másik két oszlopban. Ott ugyanis indexek szerepelnek és ahhoz, hogy képleteink működjenek, az indexeket tizedes tört alakban kell használni.

A tehenek tehát maradnak, de az indexeket lecseréljük:

Árbevétel megoszlása

2011-ben

2011-es árak

(2010=100%)

2011-es volumen

(2010=100%)

könyv

60%

1,04

1,1

cd-dvd

30%

1,06

1

térkép

10%

1,08

0,98

össz.

100%

Számoljunk ki egy oszlopot:

És számoljunk egy oszlopot is. Ezt úgy számoljuk ki, hogy

tehát

Árbevétel megoszlása

2011-ben

2011-es árak

(2010=100%)

2011-es volumen

(2010=100%)

könyv

60%

1,04

1,1

1,144

52,45

cd-dvd

30%

1,06

1

1,06

28,3

térkép

10%

1,08

0,98

1,058

9,45

össz.

100%

90,2

Az értékindex

Az árbevétel tehát 10,8%-al növekedett.

Árindexből bázis időszakit szoktunk számolni:

Volumenindexből meg tárgyidőszakit:

2010-ben az árbevétel 611 000 dollár volt. Az árbevétel

növekedése az árak változása miatt

Az árak miatti növekedés 641 550 – 611 000 = 30 550 dollár.

Az árbevétel növekedése a volumenek változása miatt

A volumenek miatti növekedés tehát 33 605 dollár.

5.4. Az alábbi táblázat egy városban működő három taxi társaság km árait tartalmazza.

Tudjuk továbbá, hogy az összforgalom értéke 2010-ről 2011-re 10%-al emelkedett.

Társaság

neve

A forgalom értékének

megoszlása %-ban

Árak változása

2010

2011

(2010=100%)

A

40

50

105

B

20

25

108

C

40

25

110

Számítsuk ki a bázis- és tárgyidőszaki árindexeket és a Fischer-féle volumenindexet!

Első észrevétel, hogy a % pont olyan jó, mint a konkrét adat, mivel az indexek kiszámolásánál csak arányokat vizsgálunk. Vagyis tökmindegy, hogy a taxi társaságok forgalma 2010-ben 40 forint 20 forint és 40 forint, vagy 40 ezer euró, 20 ezer euró és 40 ezer euró mert csak az arányokat vizsgáljuk.

Mivel a forgalom értéke 2011-re 10%-al nőtt, az egész oszlopot 1,1-el szorozzuk:

Társaság

neve

A forgalom értékének

megoszlása %-ban

Árak változása

2010

2011

(2010=100%)

A

40

55

105

B

20

22

108

C

40

33

110

Ezzel az arányokat megtartottuk. Az árak változása oszlop tulajdonképpen egyedi árindex, csak %-ról átírjuk századra.

Társaság

neve

A forgalom értékének

megoszlása %-ban

Árak változása

2010

2011

A

40

55

1,05

B

20

22

1,08

C

40

33

1,10

Számítsuk ki a bázisidőszaki árindexet. Ehhez kellenek az átlagformák.

Az infláció tehát 7,6%-os volt.

Ki tudjuk számolni a tárgyidőszaki árindexet is:

Végül kiszámoljuk a Fischer-féle volumenindexet.

Ehhez még egy fontos képletre van szükségünk.

A Fischer-féle volumenindexhez kell a Fischer-féle árindex és az értékindex.

Ekkor miatt vagyis tehát 2,5%.

5.5. Egy étterem háromféle sört forgalmaz, eladási adataik 2010-ben és 2011-ben az alábbiak:

2010-hez viszonyított

változás %-ban

Forgalom értéke

2010-ben (EUR)

Forgalom

értéke

Ár

A

140%

105%

20 000

B

120%

112%

12 000

C

140%

110%

15 000

Számítsuk ki a kétféle súlyozású árindexet és a Fischer-féle volumenindexet.

Először is megszabadulunk a %-októl.

2010-hez viszonyított

változás %-ban

Forgalom értéke

2010-ben (EUR)

Értékindex

Árindex

A

1,40

1,05

20 000

B

1,20

1,12

12 000

C

1,40

1,10

15 000

Tehát ezeknek létesítünk egy oszlopot.

2010-hez viszonyított

változás %-ban

Forgalom értéke

2010-ben (EUR)

Forgalom értéke

2011-ben (EUR)

Értékindex

Árindex

A

1,40

1,05

20 000

28 000

B

1,20

1,12

12 000

14 400

C

1,40

1,10

15 000

21 000

Most pedig lássuk a képleteket.

A bázisidőszaki súlyozású árindex:

Az sör-árak átlagos áremelkedése tehát 8,4%-os.

A tárgyidőszaki súlyozású árindex:

A volumenindexhez az

összefüggést használjuk.

és

tehát , ami azt jelenti, hogy egy év alatt 23,8%-al növekedett a forgalom.

5.6. Az alábbi táblázat egy áruház éves eredményeit tartalmazza 2007-től 2011-ig az egyes évek árain számolva.

q

P

2007

2008

2009

2010

2011

2007

230

250

262

260

261

2008

231

254

264

263

262

2009

233

255

265

265

264

2010

235

258

267

264

265

2011

240

261

267

266

267

Számítsuk ki a 2007-es súlyozású bázis-árindexsor elemeit.
Számítsuk ki a 2009-es súlyozású bázis-volumenindexsor elemeit.
Számítsuk ki a változó súlyozású Laspeyres-féle lánc-árindexsor elemeit.
Számítsuk ki a változó súlyozású Paasche-féle lánc-árindexsor elemeit.
Számítsuk ki a változó súlyozású Paasche-féle lánc-volumenindexsor elemeit.
Számítsuk ki a lánc-értékindexsor elemeit

a) A súlyok, mivel árindexről van szó a volumenek lesznek, méghozzá a 2007-es volumenek.

b) Itt a súlyok az árak lesznek és 2009-hez viszonyítunk.

c) A változó súlyozású Laspeyres-féle lánc-árindexsor elemei a főátló mentén lesznek.

d) A változó súlyozású Paasche-féle lánc-árindexsor elemei is a főátló mentén lesznek.

e)

f)

5.7. Egy szupermarket értékesítési adatai 2010-ben és 2011-ben az alábbiak, 2010-ben az árbevétel 850 000 USD volt.

Árbevétel megoszlása

2011-ben

2011-es árak

(2010=100%)

2011-es volumen

(2010=100%)

élelmiszer

58%

+6%

+4%

illatszer

16%

+8%

-5%

vegyiáru

26%

+7%

-4%

össz.

100%

Hány százalékkal változott a bolt árbevétele termékcsoportonként és együttesen? Hány százalékkal változtak az árak és a volumenek együttesen? Hány dollárral nőtt a bolt árbevétele az árváltozás miatt?

Azonosítsuk be, hogy ki kicsoda. Az első oszlop árbevétel, és 2011-ben, vagyis tárgyévben, tehát . A következő oszlop az árak megváltozása, vagyis egyedi árindex, az utolsó pedig egyedi volumenindex, de roppant haszontalan formában megadva.

A +6% azt jelenti, hogy 1,06 a +8% azt, hogy 1,08 és így tovább.

Árbevétel megoszlása

2011-ben

2011-es árak

(2010=100%)

2011-es volumen

(2010=100%)

élelmiszer

58%

1,06

1,04

illatszer

16%

1,08

0,95

vegyiáru

26%

1,07

0,96

össz.

100%

Az árbevétel oszlopa maradhat 100%-ban. Picit jobb lenne ugyan, ha meglennének a konkrét értékek, amik alighanem dollárban értendők, de mérhetnénk euróban is vagy tallérban, és bizonyára akad olyan valuta, amiben mérve az árbevétel éppen a megadott 58, 16, és 26. Mondjuk tehénben fizetve éppen 100 tehén volt a 2011-es árbevétel, 58 tehénért vettek élelmiszert, stb.

Számoljunk ki egy oszlopot:

És számoljunk egy oszlopot is. Ezt úgy számoljuk ki, hogy

tehát

Árbevétel megoszlása

2011-ben

2011-es árak

(2010=100%)

2011-es volumen

(2010=100%)

élelmiszer

58%

1,06

1,04

1,102

52,63

illatszer

16%

1,08

0,95

1,026

15,59

vegyiáru

26%

1,07

0,96

1,027

25,31

össz.

100%

93,53

Az értékindex

Az árbevétel tehát 7%-al növekedett.

Árindexből bázis időszakit szoktunk számolni:

Volumenindexből meg tárgyidőszakit:

A 2010-es árbevétel 850 000 USD volt. Az árbevétel növekedése az értékindex alapján 7%-os volt. Mivel a volumenek átlagosan nem változtak, a teljes árbevétel növekedés az áraknak tulajdonítható.

Ez

Vásárlóerő-paritás

Két ország valutájának vásárlóerejét szeretnénk összehasonlítani. Az egyik országot az egyszerűség kedvéért nevezzük Arábiának, a másikat Britanniának – de nem a nagy. Egy Britanniai font 180 Arábiai dollárt ér a valutapiacon. Ugyanakkor Arábiában nagyon sok olaj van, így rendkívül olcsó a benzin. Annyira olcsó, hogy már-már azzal locsolják a virágokat is. Mondjuk nem is igen van mással, mert víz az viszont nincs. Britanniában ezzel szemben van víz bőven, de olaj csak drága vezetékeken érkezik.

Így aztán Arábiában egy liter benzin 80 dollár, Britanniában viszont 1 font, ami több mint a duplája. A víz Arábiában drágább, ott 50 dollár köbmétere, Britanniában csak 0,1 font.

Donald-kacsája egyik országnak sincs, ebből mindketten behozatalra szorulnak és az ára Britanniában 5 font, Arábiában 1000 dollár, ami nagyjából ugyanannyi, hiszen 1 font 180 dollár, így 5 font 900 dollárnak felel meg.

1font=180 dollár

Arábia

Britannia

egyedi

vásárlóerő-paritás

egységár

(Arábiai dollár)

egységár

(Britanniai font)

Benzin (liter)

80

1

1font=80 dollár

Víz (köbméter)

50

0,1

1font=500 dollár

Donald-kacsa (db)

1000

5

1 font=200 dollár

Nem könnyű tehát kiigazodni az árfolyamokon. Hiába ér 1 font 180 dollárt, ha benzint akarunk venni, akkor csak 80 dollárt ér. Ha viszont vizet, akkor 500-at. A font vásárlóértéke tehát attól függ, hogy miből mennyit akarunk venni. Ennek a vásárlóerőnek a mérésére van forgalomban az úgynevezett vásárlóerő-paritás. Angol megfelelője Purchasing Power Parity alapján a rövidítése PPP.

Az egyedi vásárlóerő-paritás tulajdonképpen nem más, mint a táblázatunkban is szereplő szubjektív árfolyam. Ha tankolni kell, 1 font =80 dollár, ha megszomjazunk, akkor

1 font = 500 dollár.

A vásárlóerő-paritás ezeknek az egyedi vásárlóerő-paritásoknak a fogyasztással súlyozott átlaga.

Mindkét országban megvizsgáljuk a fogyasztási szokásokat, ezeket fogjuk súlyoknak használni a vásárlóerő-paritás kiszámolásához. Minél több termék vagy szolgáltatás alapján számítjuk a vásárlóerő-paritást, annál teljesebb képet kapunk.

Most önkényesen kiválasztott hat termékcsoportra nézve számolunk.

Arábia

Britannia

egy főre jutó

fogyasztás

(havi átlag)

egységár

(Arábiai dollár)

egy főre jutó

fogyasztás

(havi átlag)

egységár

(Britanniai font)

Benzin (liter)

12

80

15

1

Víz (köbméter)

1

50

1,8

0,1

Donald-kacsa (db)

1

1000

28

5

Gyümölcs (kg)

8

76

7

0,4

Zöldség (kg)

16

60

9

0,3

A súlyoknak választhatjuk Arábia és Britannia fogyasztását is.

Arábia fogyasztási adataival súlyozva

Britannia fogyasztási adataival súlyozva pedig

A kapott értékek jelentősen eltérnek. Ez az eltérés Arábia és Britannia fogyasztási szokásainak különbözősége miatt van és bizony gyakran előfordul, amikor két eltérő fogyasztói szokásokkal rendelkező ország vásárlóerő-paritását vizsgáljuk. A különböző súlyozás miatt kapott kétféle eredményből úgy tudunk egy objektív mutatót készíteni, ha a már korábban is alkalmazott Fischer-indexet használjuk.

Egy Britanniai font vásárlóereje tehát 164,11 Arábiai dollár vásárlóerejének felel meg.

Az összehasonlítást fordítva is elvégezhetjük.

Vagyis egy Arábiai dollár vásárlóereje 0,00609 Britanniai fontot vásárlóerejének felel meg.

Egy Britanniai font tehát 164,11 Arábiai dollárt ér, míg egy Arábiai dollár 0,00609 Britanniai fontot az általunk vizsgált hatféle termék alapján.

5.8. Egy cipőbolt forgalmára vonatkozó adatok az alábbiak:

Termékek

A forgalom értéke

2010-ben (millió forint)

2010/2011

Árváltozás

(%)

Volumenváltozás

(%)

Férfi cipő

2300

105

101

Női cipő

2870

109

103

Gyerek cipő

1760

102

100

összesen

Hány százalékkal változott a forgalom termékcsoportonként és együttesen? Mennyivel nőtt a bolt forgalma együttesen? Hogyan változott a bolt árszínvonala 2010-ről 2011-re? Hogyan változott a volumen?

Az árváltozás és volumenváltozás oszlopban a százalékokat átírjuk,

ezek lesznek az illetve .

Csináljunk egy oszlopot is.

Termékek

A forgalom értéke

2010-ben (millió forint)

2010/2011 változás

Ár

Volumen

Forgalom

Férfi cipő

2300

1,05

1,01

1,06

Női cipő

2870

1,09

1,03

1,12

Gyerek cipő

1760

1,02

1,00

1,02

összesen

6930

A bolt forgalma termékcsoportonként 6%-al, 12%-al illetve 2%-al nőtt.

Együttesen pedig

A bolt teljes forgalma 7,5%-al nőtt.

Az árszínvonal változását nevezzük inflációnak. Itt bázisidőszaki súlyozást szoktunk használni:

Az átlagos árszínvonal emelkedés tehát 5,9%-os volt.

A volumenváltozás

alapján

=1,015 vagyis 1,5%-os.

5.9. Egy áruház éves értékesítése néhány évben az alábbi volt:

év

Értékesítés az adott évi áron számolva

(millió forint)

2008

2009

2010

2011

2008

420

425

426

428

2009

421

422

423

425

2010

415

418

420

420

2011

410

411

416

417

Határozzuk meg a lánc értékindex-sor elemeit!

Határozzuk meg a változó súlyozású lánc volumenindex-sor elemeit Paasche-formában!

A lánc-értékindexsor:

A változó súlyozású lánc volumenindex-sor elemei Paasche-formában:

5.10. Egy cég termelési értéke 2008-ban 400 millió forint volt. 2010-re a termelés értéke 10%-al, volumene (Paasche) 2%-al emelkedett. Hány forinttal emelkedett a termelés értéke az árak változása miatt?

A termelés értéke 10%-al emelkedett, vagyis az értékindex:

A Paasche-volumenindex:

Ekkor alapján

Az árváltozás miatt 7,8%-os értéknövekedés következett be, ami jó közelítéssel

5.11. Négyféle termék árusításával foglalkozó cég 2010-es árbevétele 220 millió, 2011-es árbevétele 230 millió.

termék

2010-es

Árbevétel

(%)

2011-es

Árbevétel

(%)

Árváltozás

2010=100%

A

30

23

105

B

18

12

103

C

25

32

102

D

27

33

105

összesen

100

100

a) Mekkora volt az átlagos árváltozás 2010-ről 2011-re?

b) Mekkora a volumenváltozás Fischer-féle indexe?

c) Az árbevétel növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak?

Lássuk ki kicsoda a táblázatban!

termék

2010-es

Árbevétel

(%)

2011-es

Árbevétel

(%)

Árváltozás

2010=100%

A

30

23

105

B

18

12

103

C

25

32

102

D

27

33

105

összesen

100

100

Az árbevételek és egyéb adatok maradhatnak %-ban, de az indexek nem. Vagyis az árindexeket átírjuk.

termék

2010-es

Árbevétel

(%)

2011-es

Árbevétel

(%)

Árváltozás

2010=100%

A

30

23

1,05

B

18

12

1,03

C

25

32

1,02

D

27

33

1,05

összesen

100

100

Számoljuk ki az értékindexet is.

Mivel pedig

az értékindexből és az árindexekből megkapjuk a volumenindexeket.

és

Ekkor

és

A Fischer féle volumenindex pedig

millió

Az árváltozásból eredő árbevétel többlet 8,85 millió.

5.12. Háromféle termék forgalmazásával foglalkozó cég forgalmáról az alábbiak ismertek:

termék

2010-es

forgalom

(ezer USD)

2011-es

forgalom

(%)

2011-ben eladott

termékmennyiség

a 2010-es %-ában

A

350

43

110

B

200

16

116

C

450

41

104

összesen

1000

100

A forgalom növekedése 2010-ről 2011-re 64 000 USD

a) Mekkora volt az átlagos volumen változás 2010-ről 2011-re?

b) Mekkora a Fischer-féle árindex?

c) Az forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható a volumenváltozásnak?

Lássuk ki kicsoda a táblázatban!

termék

2010-es

forgalom

(ezer USD)

2011-es

forgalom

(%)

2011-ben eladott

termékmennyiség

a 2010-es %-ában

A

350

43

110

B

200

16

116

C

450

41

104

összesen

1000

100

A forgalom itt pénzforgalmat jelent, vagyis 2010-ben 2011-ben pedig .

2010-ben dollárban, 2011-ben viszont %-ban van megadva, ami azonban nem jelent különösebb problémát.

Az utolsó oszlop viszont index, vagyis egyik évről másik évre való változás, ami nem maradhat %-ban.

termék

2010-es

forgalom

(ezer USD)

2011-es

forgalom

(%)

2011-ben eladott

termékmennyiség

a 2010-es %-ában

A

350

43

1,10

B

200

16

1,16

C

450

41

1,04

összesen

1000

100

Lássuk a képleteket!

Ez az oszlop arra késztet bennünket, hogy volumenindexeket számoljunk.

A Fischer pedig:

Nézzük meg az értékindexet is. A forgalom növekedése

64 000 USD volt 2010-ről 2011-re. Ekkor

a forgalom 2010-ben 1000 ezer USD

a forgalom 2011-ben 1064 ezer USD

Mivel pedig

A Fischer-féle árindex: és ez átlagosan 1,8%-os árcsökkenést jelent.

Végül nézzük, a forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható a volumenváltozásnak. Mivel az árak csökkentek,

Az volumenváltozásból eredő forgalom többlet 85 ezer USD.

5.13. Egy cég háromféle termék forgalmazásával foglalkozik. A forgalomról az alábbiakat tudjuk:

termék

2010-es forgalom

%-os megoszlása

2011-es forgalom

%-os megoszlása

Eladási ár

változása

2011/2010%

A

20

25

104

B

30

15

109

C

50

60

102

összesen

100

100

A forgalom 2010-ben 16 ezer USD volt, ami 2011-re 12%-al nőtt.

a) Mekkora a Laspeyres-féle és a Paasche-féle árindex? Mi okozza az eltérésüket?

b) Mekkora a Fischer-féle volumenindex?

c) Az forgalom növekedéséből mekkora rész tulajdonítható az árváltozásnak?

Lássuk ki kicsoda a táblázatban!

termék

2010-es forgalom

%-os megoszlása

2011-es forgalom

%-os megoszlása

Eladási ár

változása

2011/2010%

A

20

25

104

B

30

15

109

C

50

60

102

összesen

100

100

A forgalom itt pénzforgalmat jelent, ami 2010-ben és 2011-ben .

A forgalom adatok maradhatnak %-ban, de az utolsó oszlopban indexek vannak, azok nem.

termék

2010-es forgalom

%-os megoszlása

2011-es forgalom

%-os megoszlása

Eladási ár

változása

2011/2010%

A

20

25

1,04

B

30

15

1,09

C

50

60

1,02

összesen

100

100

Most pedig gyűjtsünk egy kis ihletet az indexek átlagformáiból.

A kétféle árindex azért tér el, mert más súlyozást használtunk. A súlyok a volumenek, vagyis ezek változása okozza az eltérést. Mivel a 2010-es árindex nagyobb, a jobban dráguló termékekből több fogyott 2010-ben, mint 2011-ben.

Most, hogy ez ilyen megnyugtatóan megoldódott, térjünk rá a volumenindexekre. Ezekhez először értékindexet számolunk.

A forgalom 12%-al nőtt 2010-ről 2011-re. Nos ez éppen az értékindex.

Volumenindexek úgy lesznek, hogy

Ekkor és

A volumenindexek:

és

A Fischer féle volumenindex pedig

A volumen átlagosan 7,7%-al nőtt.

Végül lássuk, a forgalom növekedésében mekkora szerepe volt az árnövekedésnek.

ezer USD.

Az árváltozásból eredő forgalom többlet 0,72 ezer USD.

 

ÁRINDEX ÉS VOLUMENINDEX

01
Itt jön egy fantasztikus
Statisztika epizód.

Hozzászólások

"meglepő módon" - matematikus humor :)