GTK Kalkulus 1 epizód tartalma:

Racionális törtfüggvények integrálása, Parciális törtek, Parciális törtekre bontás, f'/f típusú integrál, Arkusztangensre vezető integrál, Határozatlan együtthatók módszere, A határozatlan együtthatók kiszámolása.

A képsor tartalma

Bármilyen racionális törtfüggvényt nagyon egyszerűen tudunk integrálni. Mindössze annyit kell tennünk, hogy fölbontjuk elemi törtekre és az elemi törteket az előbbi módszereinkkel integráljuk.

Éppen itt is van egy feladat:

Elsőként ellenőrizzük, hogy a számláló foka kisebb-e mint a nevezőé. Ha ugyanis ez nem teljesül, akkor polinomosztásra van szükség.

A polinomosztás egy marhajó dolog, majd később megnézzük, most azonban szerencsére nincs rá szükség.

A nevezőt szorzattá alakítjuk. Emeljünk ki x-et.

Aztán nézzük meg, hogy a másodfokú tényező tovább bontható-e.

Úgy tűnik igen. Ha valaki nem érzi magában az erőt, hogy ilyen szorzattá alakítást megcsináljon, nos neki itt van ez a remek kis képlet:

ahol

Kész a szorzattá alakítás. Ezek lesznek a parciális törtek nevezői.

A számlálókat mindig a nevezőkből következtetjük ki.

Mivel mindhárom nevező elsőfokú, mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.

Most pedig kiszámoljuk, hogy mennyi vajon A, B és C.

Ehhez őket kell egy kicsit nézegetnünk.

Beszorzunk a nevezőkkel,

aztán pedig jön egy trükk.

Nézzük meg mi történik, ha x helyére nullát írunk.

Most próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi lehet B.

Ehhez ezeket kéne kinullázni.

Végül pedig C kiszámolásához ezeket fogjuk kinullázni.

Ha esetleg nem tetszett a trükk, megtehetjük azt is, hogy felbontjuk a zárójeleket:

Aztán pedig megnézzük, hogy jobb oldalon hány x2 van, hány x van és mennyi a konstans tag.

Mert pontosan ugyanennyi van bal oldalon is.

Megoldjuk az egyenletrendszert.

Itt egy újabb racionális törtfüggvény:

A nevezőt most is elsőfokú és tovább nem bontható másodfokú tényezők szorzatára kell bontani.

Lássuk csak felbontható-e ez.

Nos úgy tűnik igen.

Most jön az elemi törtekre bontás. Mint látjuk, a nevezőben az egyik elsőfokú tényező kétszer is szerepel. Ilyenkor az elemi törtekre bontásnál van egy kis trükk.

Az egyik elemi tört nevezője (2x+1) a másiké pedig (2x+1)2.

A számlálókat most is a nevezőkből következtetjük ki.

Mivel mindhárom nevező elsőfokú, vagy elsőfokú tag hatványa, ezért mindhárom tört I. típusú elemi tört, így a számlálók A, B és C.

Most pedig lássuk mennyi A, B, és C.

Az előző képsorban látott trükkös módszert fogjuk használni.

Először ezeket nullázzuk ki:

Ezeket nem tudjuk egyszerre kinullázni, úgyhogy az A kicsit nehezebben jön ki.

Nos írjunk mondjuk x helyére 0-t.

Írhatnánk 666-ot is, de akkor nehezebb lenne számolni.

Ezeket már könnyű integrálni.

 

Racionális törtfüggvények 2.0

15
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Racionális törtfüggvények integrálása, Parciális törtek, Parciális törtekre bontás, f'/f típusú integrál, Arkusztangensre vezető integrál, Határozatlan együtthatók módszere, A határozatlan együtthatók kiszámolása.

Itt jön egy fantasztikus
GTK Kalkulus 1 epizód.
Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!