Valószínűségszámítás epizód tartalma:

A képsor tartalma

Egy biztosítónál naponta átlagosan 5 kárbejelentés érkezik lakásbiztosítással kapcsolatban.

a) Mi a valószínűsége, hogy egy nap a várhatónál kevesebb érkezik?

b) Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap lesz a várhatónál kevesebb bejelentés?

X=kárbejelentések száma

Bármikor előfordulhat, hogy a földönkívüliek megtámadják a Földet és ilyenkor a lakás kárbejelentések száma napi egymillió is lehet. Vagyis X nem korlátos.

Y= napok száma

amikor az átlagnál kevesebb a bejelentés

Egy héten maximum hét nap van, így Y korlátos.

Nézzük mi az amit tudunk:

annak valószínűsége, hogy egy nap az átlagnál kevesebb a bejelentés

5.7.

Egy bankba az esetek 0,3%-ában nem érkezik ügyfél egy óra alatt. Az ügyfelek száma Poisson eloszlású.

a) Mekkora az ügyfelek várható száma óránként?

b)

X = ügyfelek száma

Nincs ügyfél az esetek 0,3%-ában

Nekünk a kitevőben lévő -ra van szükségünk.

Úgy tudjuk onnan lecsalogatni, hogy vesszük mindkét oldal e alapú logaritmusát.

Van egy ilyen, hogy

Úgyhogy pápá

Ezzel megvolnánk.

Várhatóan 5,81 ügyfél van óránként.

Pontosan 5,81 ügyfél persze nem fog érkezni, legfeljebb a hullaházba.

Ezt úgy kell érteni, hogy átlagosan 5,81 ügyfél.

Nézzük mi van a másik kérdéssel.

Az kevésbé jól néz ki.

X az ügyfelek számát jelenti.

Ha az ügyfelek még életben vannak akkor ez csak egész szám lehet.

5.8.

Egy újságárus óránként 48 darab újságot szokott eladni, amiből átlag 36 napilap. Mi a valószínűsége, hogy

a) 10 perc alatt legfeljebb 2 napilapot ad el?

b) 5 perc alatt éppen 7 újságot ad el?

c) a 7 eladott újságból 4 napilap?

X = eladott napilapok száma 10 perc alatt

X nem korlátos, ha megérkezik a turistacsoport Kínából akik mind ki vannak éhezve egy kis napilapra akkor az újságárus akár 1000 darabot is eladhat.

Az átlagos eladás óránként 36 napilap ami 10 perc alatt a hatoda:

Y= eladott újságok száma 5 perc alatt

Ez is Poisson eloszlás.

A várható érték óránként 48 darab, 5 perc alatt pedig:

Z = a 7 eladott újságból a napilapok száma

Nem tudjuk, hogy összesen hány újság és hány napilap van.

De azt tudjuk, hogy 48 újságból átlag 36 napilap, ami 75%

5.9.

Annak valószínűsége, hogy egy hírlapárus negyedóra alatt egyetlen lapot sem tud eladni

a) Mennyit szokott eladni átlagosan óránként?

b) Mekkora valószínűséggel ad el félóra alatt 10 darabot?

c) Legfeljebb milyen hosszú ideig nem tud eladni egyetlen lapot sem legalább 0,6 valószínűséggel?

X = eladott újságok száma

Ezek az újságárusok mindig Poisson eloszlással árulják az újságokat.

egyet sem tud eladni valószínűséggel

Várhatóan 6 darabot ad el negyedóra alatt.

Akkor óránként feltehetően négyszer annyit ad el: 24 darabot.

Lássuk csak, fél óra alatt várhatóan 12 darabot ad el:

Fogalmunk sincs, hogy milyen hosszú ideig nem tud eladni egyetlen újságot sem. Legyen ez az idő t.

Nos ez remek, már csak az a kérdés, hogy akkor most mi van.

Amit kaptunk, a Poisson eloszlás várható értéke t idő alatt.

Vagyis várhatóan ennyi újságot vesznek t idő alatt.

Mennyi vajon a t?

15 perc alatt 6 darabot vesznek, t idő alatt 0,511 darabot.

Legfeljebb 1,2775 perc telik el úgy, hogy még legalább 60% eséllyel nem vesznek újságot.

5.10.

Egy bizonyos hónap 30 napjából átlag 12 nap szokott esni. Mi a valószínűsége, hogy egy héten három nap esik?

X = esős napok száma

Összes nap 30 amiből esős 12:

A vizsgált napok száma 7 és ebből esnie kell háromszor:

De sajnos van egy kis gond.

A 30 napból ugyanis átlag 12 nap szokott esni, ami azt jelenti, hogy például idén eshet 25 napon keresztül is vagy csak 5 napig.

Fogalmunk sincs tehát róla, hogy hány esős nap van, csak az átlagot ismerjük.

Mivel azonban X korlátos, hiszen egy héten maximum 7 nap eshet, ez egy Binomiális eloszlás lesz.

5.11.

Egy könyvben 100 oldalon átlag 80 nyomdahiba található. Mi a valószínűsége, hogy 10 egymást követő oldalon 7 hiba lesz?

X = hibák száma

Összes oldal 100 ahol 80 hiba található:

A vizsgált oldalak száma 10 és itt 7 hibának kell lennie:

De sajnos van egy kis gond.

A 100 oldalon ugyanis átlag 80 hiba szokott lenni, ami azt jelenti, hogy például lehet 150 darab is vagy éppen csak 25.

Fogalmunk sincs tehát róla, hogy hány hiba van, csak az átlagot ismerjük.

A vizsgált 10 oldalból hibás oldal maximum 10 lehet, viszont hiba lehet bármennyi.

X a hibák száma, ezért nem korlátos.

hiba várható 1 oldalon

5.12.

Egy vizsgán a hallgatóknak általában 60%-a megbukik. Egy nap 10-en vizsgáznak, mi a valószínűsége, hogy

a) legfeljebb 2-en mennek át?

b) legalább 2-en mennek át?

X = hányan mennek át

Mivel 10-en vizsgáznak, 10-nél többen biztosan nem mennek át.

Lássuk csak mi az amit tudunk:

Van itt azonban egy kis probléma.

X azt jelenti, hogy hányan mennek át, így aztán ez a bizonyos p is annak a valószínűsége kell, hogy legyen, hogy valaki átmegy.

Az X-nek és a p-nek tehát mindig ugyanarra kell vonatkoznia.

Semmi baj nincs azzal, hogy p annak a valószínűsége, hogy egy vizsgázó megbukik, de akkor X-nek a megbukott hallgatók számát kell jelenti.

Mivel most X azt jelenti, hogy hányan mennek át, ezért p is annak a valószínűsége, hogy valaki átmegy.

5.13.

Az X valószínűségi változó egyenletes eloszlású, várható értéke 10, szórása .

Mekkora a , a és a valószínűség?

Az egyenletes eloszlás várható értéke:

És a szórása:

Ez egy egyenletrendszer.

Ha a két egyenletet összeadjuk,

Most pedig lássuk az eloszlásfüggvényt.

5.14.

Egy tűzoltóságra átlagosan kétóránként érkezik riasztás. Mi a valószínűsége, hogy

a) 8 óra alatt legfeljebb 2 riasztás érkezik?

b) egy 800-kor érkező riasztás után a következő 930 és 1000 között érkezik?

X = riasztások száma

A riasztások száma diszkrét eloszlás és lássuk csak…

8 óra alatt lehet bármennyi, tehát Poisson.

Kétóránként szokott riasztás érkezni, tehát 8 óra alatt várhatóan 4 riasztás lesz.

Y = a riasztások közt eltelt idő

Az eltelt idő folytonos eloszlás és exponenciális.

Általában 2 óra szokott eltelni a riasztások közt, tehát a várható érték 2 óra.

EXP

5.15.

Egy ügyfélszolgálatra érkező segélyhívások száma Poisson-eloszlású, a köztük eltelt idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, annak valószínűsége, hogy 5 perc alatt érkezik hívás

a) Hány hívás érkezik átlagosan óránként?

b) Mekkora a valószínűsége, hogy fél óra alatt legalább három hívás érkezik?

c) Mekkora a valószínűsége, hogy két hívás közt legalább 10 perc telik el?

X = hívások száma

5 perc alatt érkezik hívás

Ha 5 perc alatt akkor egy óra alatt

És fél óra alatt

Y = a hívások közt eltelt idő

Ez a menet közben hajlamos mindig megváltozni.

Lássuk most éppen mennyi.

Ha fél óra alatt 12 hívás jön,

akkor a hívások között 5 perc szokott eltelni:

 

Vegyes feladat Poisson és binomiális eloszlással

08
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Nevezetes valószínűségi eloszlások, Diszkrét és folytonos valószínűségi változók, Binomiális eloszlás, Poisson eloszlás, Hipergeometriai eloszlás, Exponenciális eloszlás, Normális eloszlás, Egyenletes eloszlás, Várható érték, Átlag, Szórás, Sűrűségfüggvény, Eloszlásfüggvény.

Itt jön egy fantasztikus
Valószínűségszámítás epizód.
Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!