Egy 3x3-as mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámolása (Bázistranszf.) | mateking
 

Alkalmazott matematika 1 epizód tartalma:

A sajátérték és a sajátvektor rendkívül fontos a lineáris algebrában. Most elmeséljük, hogyan kell kiszámolni. | Karakterisztikus egyenlet, Determináns, Sajátértékek kiszámolása, Sajátvektorok kiszámolása. |

A képsor tartalma

Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit

és sajátvektorait.

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.

Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.

És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.

Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.

A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.

Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.

Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:

kiesik a konstans tag

Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.

Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,

de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.

Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.

Emeljünk ki 2-t.

A kettes módszer itt nem működik,

ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.

A másodfokú részt felbontjuk,

aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.

Van egy ilyen, hogy

emlékeztetőül:

A másodfokú izét szorzattá alakítjuk

Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,

aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.

Itt összevonunk:

Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,

mert a kétszeres sajátérték.

Jöhetnek a sajátvektorok!

Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.

Belerakjuk a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

Itt a bázistranszformáció elakad.

Ha két x is fönt mard,

az egyik t, a másik s

Most már itt se folytatható.

Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a és

már foglalt, legyen .

A sajátvektor ha

ahol

És a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A sajátvektor ha

 

Egy 3x3-as mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámolása (Bázistranszf.)

08
hang
Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.

    Tibor, 23
  • Olyan weboldal, ami még egy vak lovat is megtanítana integrálni.

    Petra, 26
  • Konkrétan a hetedikes öcsém megtanult deriválni, ez elég bizonyíték, hogy az oldal érthetően magyaráz.

    Gábor, 18
  • Jó árban van és hihetetlenül világos a magyarázat és annyiszor lehet visszatérni az egyes lépésekre, ahányszor arra csak szükség van a megértéshez.

    Lili, 22
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez