Analízis 1 epizód tartalma:
Itt szuper-érthetően megnézheted, mit jelent a sorozatok határértéke és hogyan kell kiszámolni. Összegyűjtjük a fontosabb sorozatokat és határértékeiket. Megnézzük, hogy mit jelent az, hogy egy sorozat konvergens, mit jelent az, hogy divergens. Nézünk példákat konvergens és divergens sorozatokra. Aztán azt is megnézzü, hogy milyenek azok a sorozatok, amiknek van határértékük, és milyenek azok, amiknek nincs. A sorozatokat így kétféleképpen is osztályozhatjuk. Vannak a konvergens sorozatok, amik valamilyen valós számhoz tartanak, és vannak a divergens sorozatok, amik nem tartanak semmilyen számhoz. A divergens sorozatoknak viszont még lehet határértékük. Egy divergens sorozat tarthat végtelenbe, tarthat mínusz végtelenbe és az is lehet, hogy nem tart sehova. Hogyha a határérték létezése szerint osztályozzuk a sorozatokat, akkor vannak olyan sorozatok, amelyeknek létezik határértéke, és vannak olyan sorozatok, amiknek nem létezik. Hogyha létezik határérték, akkor ez vagy valamilyen valós szám, vagy plusz vagy mínusz végtelen. Ha nem létezik határérték, akkor a sorozat mindig ugrál, amit úgy hívunk precízebben, hogy oszcillál. Vagyis a határértékkel nem rendelkező sorozatok mindig oszcillálva divergens sorozatok. Ezek után megnézzük a határérték és a műveletek viszonyát: összeg határértéke, szorzat határértéke, hányados határértéke. És elkészítjük az ezehez kapcsolódó határérték-táblázatokat.
Beszéljünk egy kicsit a sorozatokról. Kezdjük azzal, hogy mire jók a sorozatok.
Nos, például arra, hogy beszéljünk róluk.
Íme itt is van egy sorozat.
Ez itt a sorozat indexe, ami azt mondja meg, hogy éppen hányadik tagot nézzük.
index
A sorozatok egyik leglényegesebb tulajdonsága, hogy vajon mi történik vele, ha egyre távolibb tagjait nézzük.
Ez a sorozat például közeledik a nullához.
Olyannyira, hogy mondhatunk bármilyen pici számot, eljön az idő, hogy a sorozat annál is közelebb kerül a nullához.
A sorozatnak ezt a tulajdonságát úgy nevezzük, hogy tart a nullához vagy másként a határértéke nulla.
És így jelöljük: vagy így:
Itt jön egy másik sorozat.
Ez a sorozat még inkább nullához tart.
Sőt általában ezek a sorozatok nullához tartanak.
Aztán itt vannak ezek a sorozatok.
Nos ők a végtelenbe tartanak.
NEVEZETES SOROZATOK HATÁRÉRTÉKEI
Vannak aztán ilyen gyökös sorozatok is.
Ők is végtelenbe tartanak.
És itt jön a legizgalmasabb sorozat, az
Ha akkor
sehova
Most pedig nézzük meg mi történik ha két sorozatot összeadunk.
Ha mondjuk és akkor logikusnak tűnik, hogy
De az élet sajnos ennél bonyolultabb.
Előfordulhat ugyanis, hogy és .
Hova tart ilyenkor az összegük?
Nos a helyzet az, hogy az sorozat tarthat mínusz végtelenbe,
egy konkrét számhoz
és plusz végtelenbe.
A sorozat szintén.
Az összegükre pedig ez a kilenc eset adódhat.
Nézzük meg őket.
Ha mindkét sorozat mínusz végtelenbe tart, akkor az összegük is.
Ha az egyik A-hoz a másik mínusz végtelenbe, akkor az összegük is mínusz végtelenbe.
Hogyha az egyik sorozat mínusz végtelenbe a másik pedig plusz végtelenbe tart, akkor egészen egyszerűen nem tudjuk, hova tart az összegük.
Lehet mínusz végtelen is
lehet 42 is
és lehet plusz végtelen is
A táblázat többi részének kitöltése nem sok meglepetést tartogat, a bal alsó sarok szintén kérdőjeles.
Most pedig nézzük meg mi a helyzet két sorozat szorzatával.
Itt sajnos kicsit sok eset lesz.
Nos ez megint olyan, hogy egészen egyszerűen nem tudjuk.
A folytatás már nem túl izgalmas:
Aztán végre néhány egyértelmű eset:
Most pedig jöjjön a legrosszabb, az osztás.
Itt meglehetősen sok kérdőjel lesz.
Mindjárt az első:
De van még.
Nos ezeknek a táblázatoknak a lényege az, hogy segítsen eligazodni a különböző típusú határértékek között.
A kérdőjeles esetek mondjuk nincsenek túlzottan a segítségünkre, így a továbbiakban az lesz a feladatunk, hogy megnézzük mit lehet csinálni ezekben az esetekben.
Az egyik legizgalmasabbal fogjuk kezdeni a esettel.
HA k KONKRÉT SZÁM
Lássuk mik a teendők a kritikus határértékekkel. A sorozatok határértékének kiszámolása ezekben az esetekben válik igazán izgalmassá.