Ha szimmetrikus mátrix és egy vektor -ben, akkor a

kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.

Ezek a kvadratikus alakok nagyon barátságosak, nézzünk is meg egy példát.

Legyen mondjuk

és

A hozzájuk tartozó kvadratikus alak

Számoljuk ki. A szorzásokat kell hozzá elvégezni, kezdjük hátulról.

Aztán még ezeket is összeszorozzuk.

És felbontjuk a zárójeleket.

Íme itt a kvadratikus alak.

Azért hívják kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés. Ez azt jelenti, hogy az x-ek vagy négyzeten vannak benne,

vagy elsőfokúak, de akkor meg vannak szorozva egy másik elsőfokúval és így az is négyzetesnek számít.

Nézzünk meg egy másik kvadratikus alakot is.

és

Most az mátrix -as, így az vektornak is 3 koordinátája van.

Rettenetes lenne viszont megint elvégezni a szorzásokat, főleg, hogy most -as.

Szerencsére van itt egy trükk. Nem is olyan nagy trükk.

A kvadratikus alak valahogy úgy fog kinézni, hogy lesz benne aztán lesz és , meg lesznek vegyes tagok.

A kérdés csak az, hogy hány darab lesz ezekből. A válasz pedig éppen az mátrix.

Hát ez kész.

A dolog fordítva is működik, tehát ha van egy kvadratikus alak, akkor abból fel tudjuk írni a mátrixát.

ez például jó is:

Van itt egy kvadratikus alak:

A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,

egy olyan vektort amire

és egy olyan vektort amire

Olyan vektort könnyű találni,

amire a kvadratikus alak pozitív.

Olyat már nehezebb, amire negatív,

de azért ilyen is van.

Aztán van itt egy másik kvadratikus alak is:

A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,

egy olyan vektort amire

és egy olyan vektort amire

Olyat most is könnyű találni,

amire a kvadratikus alak pozitív.

próbáljuk ki ezt:

Olyat viszont nehezebb, amire negatív.

Sőt, nemhogy nehezebb, hanem lehetetlen.

Ez a kvadratikus alak tehát

tud pozitív és negatív is lenni.

Ez a kvadratikus alak viszont

csak pozitív tud lenni

A kvadratikus alakoknak ezekkel az érdekes szokásaival fogunk most foglalkozni.

A kvadratikus alak

pozitív definit, ha minden

vektorra

negatív definit, ha minden

vektorra

pozitív szemidefinit, ha minden

vektorra

negatív szemidefinit, ha minden

vektorra

indefinit, ha van olyan és ,

hogy és

A definitség eldöntésében a kvadratikus alak mátrixa segít minket.

ha a kvadratikus alak mátrixa

pozitív definit

ha a kvadratikus alak mátrixa

negatív definit

ha a kvadratikus alak mátrixa

pozitív szemidefinit

ha a kvadratikus alak mátrixa

negatív szemidefinit

ha a kvadratikus alak mátrixa

indefinit

Van itt egy kvadratikus alak, a feladatunk az, hogy döntsük el a definitségét.

Lássuk a mátrixot!

Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.

Ehhez lássuk a sarokfőminorokat.

első sarokfőminor:

3

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

ez tutira 13

Hát úgy tűnik ez egy pozitív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is pozitív definit.

Nézzünk meg egy másikat is.

Van itt egy másik kvadratikus alak is, döntsük el ennek is a definitségét.

Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.

Ehhez jönnek a sarokfőminorok.

első sarokfőminor:

-5

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Hát úgy tűnik ez egy negatív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is negatív definit.