Gazdasági matematika 2 epizód tartalma:
Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük, hogyan kell kiszámolni egy mátrix inverzét. A négyzetes mátrixok inverzével fogjuk kezdeni. | Mátrix inverze, Mátrix invertálhatósága, Inverz mátrix, Inverz mátrix kiszámolása, Inverz mátrix feladatok megoldással, Mátrix inverzének kiszámolása, Invertálható mátrixok, Nem invertálható mátrixok, Bal inverz, Jobb inverz, Az inverz kiszámolása. |
Most egy nagyon izgalmas dologgal, a mátrixok inverzével fogunk foglalkozni.
Az -es mátrix inverze egy olyan mátrix, ami azt tudja, hogy
A mátrixok szorzása nem kommutatív, tehát ha a szereplőket megcseréljük,
akkor lehet, hogy valami egészen más mátrixszal kell az -t szorozni ahhoz, hogy az egységmátrixot kapjuk.
Mindkét mátrixot inverznek nevezzük
ilyenkor jobb oldali inverz
ilyenkor bal oldali inverz
Az -es mátrixoknak azonban megvan az a remek tulajdonsága,
hogy a szorzás sorrendje az inverznél mindegy, vagyis
Tehát a jobb és bal inverz ilyenkor megegyezik.
Mi most ilyen -es mátrixok inverzét fogjuk kiszámolni,
és maradjunk ennél a sorrendnél.
Itt van például egy mátrix:
Próbáljuk meg kiszámolni az inverzét.
Egy olyan mátrixot kell találnunk, hogy az eredeti mátrixszal megszorozva az egységmátrixot kapjuk.
A kérdőjelek nem igazán segítenek a válasz megtalálásában.
Írhatnánk helyette betűket, hogy a, b, c, meg ilyenek.
Vagy hívhatnánk az elemeit a szokásos jelöléssel úgy, hogy meg meg stb.
De inkább egy másfajta jelölést fogunk használni, és hamarosan az is kiderül majd, hogy
miért.
A kettős indexezés túl bonyolult, ezért legyen csak , és .
Az oszlopokat pedig színekkel különböztessük meg.
Ez volna tehát az inverz mátrix. Már csak azt kell kiszámolni, hogy mennyi , és
Ehhez végezzük el a szorzást!
A dolog picit bonyolultnak tűnik, de csak első ránézésre.
Bármi legyen is az inverz mátrix, az elemeire teljesülnie kell ennek a három egyenletrendszernek.
Oldjuk őket meg! Ehhez elvileg három külön táblázatra van szükségünk.
Valójában elég egyetlen táblázat.
A három egyenletrendszert tehát egyszerre oldjuk meg, a szokásos bázistranszformációval.
A bázistranszformáció lépéseit most nem részletezzük, minden pontosan úgy megy, ahogyan eddig. Aki esetleg úgy érzi, hogy elhomályosultak az emlékei ezzel kapcsolatban, az nézze meg a bázistranszformációról szóló részt.
A kapott megoldás éppen az inverz.
Csak annyi dolgunk van, hogy
sorba rakjuk a sorokat:
Az inverz kiszámolása valójában tehát rettentő egyszerű. Itt van mondjuk ez a mátrix:
Mindössze annyit kell tennünk, hogy felírjuk a mátrixot, a szokásos táblázatba,
és mellé írjuk az egységmátrixot.
Ezek után jön a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van.
Gazdasági matematika 2 epizód.