Hatványkitevős és exponenciális regresszió Vannak olyan esetek, amikor a magyarázó változó és az eredményváltozó között nem lineáris a kapcsolat. Ilyenkor legtöbbször hatványkitevős vagy exponenciális regressziót használunk. Nézzünk meg egy konkrét példát, ahol összehasonlítjuk a szóba jöhető regressziós modelleket. Egy statisztika vizsgára tanulók saját tapasztalatain alapuló felmérése szerint a tanulással töltött órák száma és az elért pontszám között az alábbi összefüggéseket sikerült kimutatni. Tanulással töltött órák Pontszám (max 100) 3 5 4 6 5 8 6 9 9 16 10 20 12 24 16 56 20 81 24 96 Az összehasonlítás kedvéért nézzük meg mindhárom regressziós modellt, a lineáris a hatványkitevős és az exponenciális modellt. A lineáris regressziót már ismerjük, erre a lineáris modellre fogjuk a másik kettőt visszavezetni egy trükk segítségével. Megeshet, hogy néhányan rosszakat fognak tőle álmodni, da sajna a trükk az lesz, hogy vesszük a regressziós egyenletek logaritmusát. Mindegy milyen alapú logaritmust veszünk, legyen mondjuk 10-es alapú, vagyis lg. Az így kapott egyenletek hajszálra megegyeznek az eredeti lineáris modell egyenletével, csak bizonyos betűk elé odakerült, hogy lg. A paraméterek kiszámításának képletei tehát szintén ugyanazok maradnak, csak ott is oda kell írni, hogy lg. Az eredeti táblázatunkat kiegészítjük és oszlopokkal. Tanulással töltött órák Pontszám (max 100) 3 5 0,4771 0,6989 4 6 0,6020 0,7781 5 8 0,6989 0,9031 6 9 0,7781 0,9542 9 16 0,9542 1,2041 10 20 1,000 1,3010 12 24 1,0791 1,3802 16 56 1,2041 1,7482 20 81 1,3010 1,9085 24 96 1,3802 1,9823 A lineáris regressziónál minden ugyanúgy megy, mint eddig: A regresszió egyenlete: A csak technikai paraméter, pedig azt jelenti, hogy minden egyes órányi tanulás 4,586 ponttal növeli a vizsga pontszámát. Nézzük mi a helyzet a hatványkitevős regressziónál. A regresszió egyenlete amibe a kapott paramétereket írva Itt csak a paraméternek van érdemi jelentése, ráadásul kicsit szokatlan. Hatványkitevős regressziónál ugyanis az elaszticitás. Esetünkben tehát az elaszticitás 1,514, ami annyit jelent, hogy x 1%-os növekedése 1,514%-al növeli y-t. Másként 1%-al több tanulás 1,514%-al növeli a vizsgán elért pontszámot. Végül az exponenciális regresszió: A regresszió egyenlete amibe a kapott paramétereket írva A paraméterek jelentése a következő. csak technikai paraméter, pedig azt jelenti, hogy minden egyes órányi tanulás 1,16-szorosára növeli a vizsga pontszámát. Nézzük meg, a három regresszió közül melyik illeszkedik a legjobban. Elsőként a reziduumokat számoljuk ki. Tanulással töltött órák Pontszám (max 100) lineáris hatvány exp. 3 5 -4,129 3,456 5,822 4 6 0,457 5,343 6,754 5 8 5,043 7,490 7,834 6 9 9,629 9,871 9,087 9 16 23,387 18,237 14,185 10 20 27,973 21,391 16,455 12 24 37,145 28,192 22,141 16 56 55,489 43,579 40,090 20 81 73,833 61,094 72,588 24 96 92,177 80,516 131,432 A jelek szerint a lineáris modell SSE-je a legkisebb, tehát ebben az esetben ez a modell illeszkedik legjobban.