Többváltozós lineáris regresszió A többváltozós regressziós modelleket olyankor alkalmazzuk, amikor az eredményváltozó alakulását több magyarázó változó tükrében vizsgáljuk. Például egy fagyiárus napi forgalma függ attól, hogy hány fok van az adott napon, a 30 fokos kánikula határozottan jobban kedvez az eladásnak, mint a -10 fokos hideg. Ezen kívül azonban számít az is, hogy az embereknek mennyi elfagyizni való pénzük van, mint ahogy mondjuk az is, hogy éppen hétvége van-e vagy sem. A többváltozós lineáris regresszió egyenlete Az y eredményváltozó itt k darab magyarázó változótól és a hibatagtól függ. Az hibatagot elhagyva kapjuk az eredményváltozó becsült képletét: A , , stb. paramétereket, ahogyan a kétváltozós esetben, itt is a legkisebb négyzetek módszerével kapjuk meg, de mindenki megkönnyebbülésére ezt most nem részletezzük. Mivel itt több magyarázó változó is van, a helyzet jóval bonyolultabb lesz. A magyarázó változók értékeit egy mátrixba rendezzük, ahol az első oszlop csupa 1-es, minden további oszlop pedig egy-egy magyarázó változó értékeit tartalmazza. A fagyiárus esetében három magyarázó változót vizsgálunk, az első arról szól, hogy hány fok van, a másodi arról, hogy mennyi pénze van az embereknek, a harmadik pedig arról, hogy hétvége van-e vagy sem. A csupa 1-es oszlop után jöjjön az, hogy hány fok volt az adott napon. A 12 érték 12 különböző nap adatait tartalmazza. A következő oszlop a gazdasági helyzetet írja le, ami szintén hatással van a forgalomra. Ezt azonban jóval bonyolultabb egyetlen számmal jellemezni, mint a hőmérsékletet. A gazdasági helyzet egyik mérője lehet például a kőolaj világpiaci ára. Romló gazdasági helyzetben ugyanis a kőolaj ára általában csökken, míg javulás esetén nő. Azokat a magyarázó változókat, amik tartalmilag csak közvetve befolyásolják az eredményváltozót, proxy változónak nevezzük. Esetünkben a kőolaj ára ilyen proxy változó. Pusztán azért mert drágább az olaj, nyilván nem fogunk több fagyit venni, de ha a drágább olaj együtt jár a jobb gazdasági mutatókkal, akkor már igen. A negyedik oszlop arról szól, hogy hétvége van-e vagy sem. Hétvégén ugyanis általában több, hétköznap kevesebb fagyit vesznek az emberek. Az ilyen típusú magyarázó változókat dummy változónak nevezzük. A dummy változó két értéket vehet föl, leginkább úgy szokás alkalmazni, hogy 0-át vagy 1-et. Esetünkben az, hogy hétvége van-e, egy dummy változó. Legyen , ha hétvége van és ha nem. Végül az eredményváltozó ugyanezen napokon mért értékeit az vektor tartalmazza. Ez ugyebár az eladott gombócok száma. A , , paramétereket az X mátrix és az vektor alapján, a következő, nem éppen kellemes képlet alapján számoljuk ki: A képletben szereplő műveletek akkor elvégezhetőek, ha az mátrixnak létezik inverze, amihez az kell – ha valaki kicsit járatos a lineáris algebrában – hogy az X mátrix oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkossanak. Ez lényegében azt jelenti, hogy a magyarázó változók között ne legyen függvényszerű kapcsolat. A képlet végén lévő vektorral való szorzáshoz pedig az kell, hogy az összefüggés teljesüljön, vagyis legalább annyi megfigyelésünk legyen, amennyi a becsülni kívánt paraméterek száma. Ezek azonban csak a technikai feltételek. A gyakorlatban arra kell törekedni, hogy a megfigyelések száma legalább háromszorosa legyen a becsülni kívánt paraméterek számának. Esetünkben a paraméterek száma négy, tehát a 12 megfigyelésünk éppen hogy elég. Az X mátrix általános alakja k darab magyarázó változó értékeit tartalmazza, a megfigyelések száma n. Az vektor az n darab megfigyelés során tapasztalt eredményváltozó értékeket tartalmazza. A lineáris regresszió paraméterei szépen egymás után a vektorban lesznek. Nézzük meg a konkrét számításokat a fagylalt-biznisz esetében. Ezeket csak a szemléltetés kedvéért mutatjuk be, valójában senkinek nem kell majd ilyeneket kiszámolnia. Ezekre és az ehhez hasonló számolásokra ugyanis különféle statisztikai programcsomagok vannak forgalomban. így Aminek az inverze A lineáris regresszió paraméterei szépen egymás után a vektorban lesznek. Ez úgy értendő, hogy és A lineáris regresszió egyenlete amibe az imént kapott értékeket írva a egyenlet adódik az eladott fagyik számára. A lineáris regresszió képletében a paraméter a tengelymetszet, a többi paraméter pedig azt jelenti, hogy az i-edik magyarázó változó egy egységgel történő változása, mennyivel változtatja az értéket, ha a többi magyarázó változót rögzítjük. Lássuk mi mondható a fagylalt-biznisz esetében! Ez most – mint általában – csak technikai paraméter. Az 1-es magyarázó változó a hőmérséklet volt, tehát ez azt jelenti, hogy ha egy fokkal emelkedik a hőmérséklet az önmagában 12,57 gombóccal növeli a napi eladást. Ez a magyarázó változó a gazdasági helyzetet írta le, méghozzá a kőolaj árával. Adataink alapján az derült ki, hogy 1 dolláros olajár növekedés 0,32 gombóccal csökkenti az eladást. Ez egy úgynevezett dummy változó volt, ami 1, ha hétvége van és 0, ha nincs. A 18,34 tehát azt jelenti, hogy pusztán attól, hogy hétvége van, 18,34 gombóccal több fagyi adható el. A paraméterek értelmezése után érdemes megnézni itt is az elaszticitást, ami azt fejezi ki, hogy az magyarázó változó 1%-os változása hány %-os változást okoz az eredményváltozóban, ha a többi magyarázó változót rögzítjük. Az elaszticitás számszerű értéke egy konkrét esetben a következő: Ha például 20 fok van, 100 dollár egy hordó olaj és hétvége van, akkor 1%-os hőmérsékletváltozás hány %-al növeli az eladást? Vagyis 1%-os hőmérséklet-emelkedés 0,37%-al növeli az eladást. A továbbiakban a kapott lineáris regresszió elemzéséről lesz szó. Elsőként, ahogyan a kétváltozós esetben tettük, most is megnézzük a reziduumokat és a korrelációt, majd az elaszticitást. Ezt követően azonban jóval érdekesebb dolgokat csinálunk. A hipotézisvizsgálat eszközeit felhasználva megvizsgáljuk, hogy a magyarázó változók közül melyek azok, amik tényleg magyaráznak és melyek, amikről csak azt hittük, hogy fontosak, de valójában nem. A fagyis történetben például a kőolaj árának 1 dolláros változása csak 0,32 gombócnyi hatással van a fagyi-eladásra, így fölmerül a gyanú, hogy ezt a változót fölöslegesen vizsgáljuk. Kezdetben ugyan logikusnak tűnt a gazdasági helyzet, mint magyarázó változó használata, de a konkrét eredmények ezt kérdésessé teszik. Ennek tisztázására használjuk majd a hipotézisvizsgálat eszközeit.