Számítástudomány alapjai epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogyan működik a Gauss-Jordan elimináció, és azt is, hogy mire lehet használni. A Gauss-eliminációhoz hasonlóan a Gauss-Jordan elimináció is egyenletrendszerek megolására jó, de ezen kívül még sokminden másra is...
A Gauss-elimináció pro változatát Gauss-Jordan eliminációnak nevezzük.
A lényege az, hogy nem csak a vezéregyesek alatt nullázunk ki, hanem felettük is.
Éppen itt is jön ez az egyenletrendszer.
Oldjuk meg, és nézzük meg, hogyan működik a Gauss-Jordan elimináció.
Ebben a mátrixban két független oszlopvektor van.
A harmadik oszlop ugyanis az első kettő összege…
A negyedik pedig a második kétszerese.
1 4 5 8
3 1 4 2
2 1 3 2
Egy mátrix oszloprangja az oszlopvektorai közül kiválasztható független vektorok maximális száma.
Most maximum két független oszlopvektor választható ki…
Így hát ennek a mátrixnak az oszloprangja kettő.
Független sorvektora persze lehetne akár három is…
De nincs.
Egy Gauss-Jordan eliminációval mindjárt az is kiderül, hogy miért nincs.
Mivel a harmadik sort ki tudtuk nullázni…
Ez azt jelenti, hogy az első két sornak a lineáris kombinációja.
Egy mátrix oszloprangja és sorrangja mindig megegyezik a vezéregyesek számával.
Most éppen két vezéregyes van, így ennek a mátrixnak az oszloprangja és a sorrangja is kettő.
Ezt hívjuk a mátrix rangjának, és a szokásos módon jelöljük:
Egy mátrixot teljes oszloprangúnak nevezünk, hogyha az oszlopvektorai lineárisan független rendszert alkotnak.
Ez a mátrix nem teljes oszloprangú…
Az oszloprang ugyanis csak 2 és a mátrixnak négy oszlopa van.
Egy mátrixot
Számítástudomány alapjai epizód.