Matek 1 Kandó epizód tartalma:
A sinx/x határértéke x→0 esetén 1 – ez a trigonometrikus függvények legfontosabb nevezetes határértéke, és szinte minden trigonometrikus határértékfeladat erre vezethető vissza. Ebben az epizódban lépésről lépésre megoldott feladatokon gyakorolhatod a sinx/x határértékkel kapcsolatos típusfeladatokat. Milyen feladatok szerepelnek az epizódban? A trigonometrikus függvények határértékénél két kifejezés kerül elő a leggyakrabban: sinx/x, amelynek határértéke x→0 esetén 1 (1−cos2x)/x2, amely szintén a sinx/x határértékből vezethető le. Mindkét típusra több, részletesen kidolgozott feladatot találsz, a legegyszerűbbtől a vizsgákon is előforduló nehezebb változatokig. Hogyan oldjuk meg a sinx/x típusú határérték feladatokat? A megoldás kulcsa minden esetben ugyanaz: a feladatot átalakítjuk úgy, hogy megjelenjen benne a jól ismert sinx/x határérték, vagy annak általánosított, siny/y alakú változata. Ehhez tipikusan bővítést, helyettesítést vagy trigonometrikus azonosságok alkalmazását használjuk. Ha ezt az átalakítást biztosan tudod, a trigonometrikus határértékszámítás nagy része rutinfeladattá válik. Kinek ajánljuk? Egyetemistáknak a matek 1-2, műszaki matek 1-2, az analízis és kalkulus ZH-ra és vizsgákra készülve, akik gyakorlófeladatokat keresnek a sinx/x határértékhez.
És most beszéljünk a trigonometrikus függvények határértékéről.
Itt jön néhány izgalmas ügy.
Nos ez egy 0/0 típusú határérték és jegyezzük meg, hogy
Van itt egy másik nagyon remek 0/0 típusú eset is,
jegyezzük meg ezt is.
Sőt vannak ezeknek ilyen mutáns változataik is.
Ha tehát ki kell számolnunk ezt a határértéket:
Akkor megállapíthatjuk, hogy
és mivel ezért , tehát a mutáns változat szerint az eredmény 1.
Ez nagyszerű, most pedig nézzünk néhány feladatot.
Ha a szinuszban 2x van, de a nevezőben csak x, akkor cselhez kell folyamodni.
Itt először a számlálót és nevezőt is leosztjuk* x-el,
aztán tömegesen alkalmazzuk az előző cselt.
*tudományosabban fogalmazva egyszerűsítünk x-el
Nos ez egy elég unalmas feladat, de ha már itt van megoldjuk ezt is.
Most pedig jönnek az izgalmak.
A hangok azt súgják, hogy itt x2-tel kéne osztani.
Mármint egyszerűsíteni.
Ezeknek pedig jót tenne, ha nem külön-külön osztanánk x2-tel,
hanem egyben.
Itt jön egy még izgalmasabb eset.
Végül a legizgalmasabb.
Van egy ilyen, hogy
Alul is kiemelünk –et.
A számlálót és a nevezőt is beszorozzuk -el.
Most pedig jön egy trükk.
Meg egy másik trükk.
Itt jön egy érdekes függvény:
A kérdés, hogy folytonos-e ez a függvény az x=2 helyen.
Nos akinek látnoki képességei vannak az egyből tudja, hogy nem.
Lássuk hogyan derül ez ki rajz nélkül is.
4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen
az x=1 helyen?