Matek 12. osztály epizód tartalma:
Itt jön egy tanulságos feladat arról, hogy mit jelent a lineáris modell, és mi az exponenciális modell, és mi köze van ezeknek a számtani és mértani sorozatokhoz. Ki fog derülni, hogy a lineáris modell számtani sorozatokkal intézhető el könnyedén, az exponenciális modellhez pedig a mértani sorozatokra lesz szükség.
Egy vasútvonalon a nagysebességű vonatok forgalma évente folyamatosan növekszik. A növekedést különböző modellekkel lehet becsülni.
a) A lineáris becslési módszer szerint a vonatok forgalma minden évben ugyanannyival nő. 2023-ban 6,1 millió utas volt és 2050-re ez a szám 10,4 millió lesz. A modell szerint hány fővel növekszik a forgalom egy év alatt?
b) Az exponenciális modell szerint az utasok száma évente átlagosan 2%-kal nő. 2023-ban 6,1millió utassal számolva hány fővel növekszik az utasok száma 2040. és 2041. között?
c) Hány év alatt nő 20%-kal az utasok száma az exponenciális modell szerint?
Hát, ez nem hangzik túl jól…
Kezdjük azzal, hogy mit jelent az, hogy „lineáris”…
A lineáris függvények így néznek ki:
És ezek pedig az exponenciális függvények:
És itt van még a vonat is:
De ez most nem fog nekünk túl sokat segíteni.
Amit viszont jegyezzünk meg, hogy a számtani sorozat mindig lineáris modell…
A mértani sorozat pedig exponenciális.
Az első kérdésre tehát valamilyen számtani sorozatos választ fogunk adni, a másik kettőre pedig mértani sorozatosat.
Kezdjük a számtani sorozattal.
A sorozat első tagja meg is van.
Most lássuk, hányadik tag lesz vajon 2050-ben…
Hát, egészen 2050-ig nem fogunk kiférni a rajzzal…
És innen még 20 év.
Tehát itt, a sorozat indexeinél is még +20…
A sorozatnak ez a tagja pedig a modell szerint…
A kérdés, hogy mennyivel növekszik a forgalom évente…
Vagyis, hogy mekkora a sorozat differenciája.
A modell szerint évente átlagosan 159 259 fővel növekszik a forgalom.
És most jöhet a mértani sorozat.
Megint csinálunk egy ábrát…
És most a 2040-et kéne megkeresnünk rajta.
Na meg 2041-et.
A kérdés, hogy mennyivel nőtt az utasforgalom 2040-ről 2041-re.
Hát ennyivel:
2040-ről 2041-re az utasforgalom 170 830 fővel nőtt.
Végül itt jön az utolsó kérdés…
Az utasok száma évente 2%-kal nő.
Két év alatt a növekedés:
Három év alatt pedig:
És négy év alatt:
A kérdés az, hogy hány év alatt lesz a növekedés +20%...
Hát, ennyi.
13,249 év alatt növekszik az utasforgalom 30%-ot.
Vagyis 13 év es egy negyedév alatt.