A Fourier-transzformáció egy olyan matematikai gépezet, ami föltekeri a hanghullámokat egy komplex számsíkban fekvő körre, és aztán az így kapott virágmintákat integrálja. A képletben szereplő w a körfrekvencia, ami azt mondja meg, hogy milyen gyorsan forog a kör, amire a hanghullámot feltekerjük. Egészen pontosan azt adja meg, hogy az eltelt 1 másodperc alatt a kör hány fordulatot tesz meg. Az w különböző értékeire tehát mindenféle virágokat kapunk, de amikor w éppen 8pi akkor ezt a kört kapjuk. A dolog nem véletlen, itt ugyanis éppen annyi kört teszünk meg, mint az eredeti hullám frekvenciája. És most kerül képbe az integrálás… Az integrálással mindig összegzünk valamit. Az integrálás eredménye valamilyen komplex függvény lesz, és ennek az abszolútértékét ábrázoljuk itt. Egy komplex függvény abszolútértéke… hát ez nem hangzik túl jól… Így kezdetben elég annyit tudnunk, hogyha az eredeti hanghullám frekvenciája f, akkor w=2*f*pi-nél lesz az ábránkon egy ilyen kiugró csúcs… Így tudja detektálni a Fourier-transzformáció az eredeti hullám frekvenciáját. Hogyha megnézzük ezt a grafikont a negatív w-ra is, akkor látszik, hogy valójában két csúcs is van. És a csúcsok magassága pedig… Éppen a hullám magasságának a fele. A hullám magasságát hívják egyébként amplitúdónak. Hogyha növeljük a hullám magasságát, vagyis a hangerőt, akkor a csúcsok magassága is nő. És őrület, ha csökkentjük a hangerőt, akkor a csúcsok magassága is csökken. De ez még nem minden... Hogyha a hangerőn nem változtatunk, az 1 másodpercet viszont 2 másodpercre növeljük, akkor a csúcsok a kétszeresére nőnek. És minél hosszabb intervallumot vizsgálunk, a csúcsok annál magasabbak lesznek. Így néz ki például, amikor 10 másodperces intervallumot nézünk. És bumm, amikor a teljes számegyenesen vizsgáljuk a hullámot, akkor végtelenül magas csúcsokat kapunk. Ezeket a végtelenül magas és végtelenül vékony tüskéket Dirac-deltának hívjuk. A Dirac-delta a matematika, a fizika és a jelfeldolgozás egyik legkülönösebb, eszköze, és Paul Dirac Nobel-díjas fizikusról neveztek el. A Dirac-delta jelölése és ez egy olyan függvény, amely mindenhol nulla, kivéve egyetlen pontban, ahol végtelen nagy értéket vesz fel, és a teljes számegyenesen vett integrálja 1. Szigorúan matematikai értelemben ez igazából nem is függvény, de hát végülis ez érthető, hiszen fizikusok találták ki… És most itt az ideje, hogy végre számoljunk is valamit… Kezdjük valami egyszerűvel, és számoljuk ki az egységnyi négyszög-impulzus Fourier-transzformáltját. Az f(t) függvény Fourier-transzformáltja: Megkezdjük a Fourier-transzformációt. És most lássuk, hogyan kéne ezt integrálni… Az 1-es szorzót már az általános iskolában sem kellett kiírni… A komplex számok exponenciális alakját visszaírjuk trigonometrikus alakra, hátha szebb lesz. És íme, a négyszög-impulzus Fourier-transzformáltja. Egy végső csinosítást még csinálhatunk, ha a számlálót és a nevezőt is osztjuk 2-vel. Ezzel egy kardinális jelentőségű függvényt kapunk... Az függvényt hívjuk függvénynek. Használják rá a kardinális szinusz elnevezést vagy a szinusz kardinálist is. A függvénynek nagy jelentősége van az mint az információelméletben és a digitális jelfeldolgozásban. Egy éles négyszögjelből a transzformáció után egy végtelenbe nyúló, hullámzó, lecsengő frekvenciaspektrumot kapunk.