Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformáció képlete így első ránézésre eléggé rémisztőnek tűnik… De 4 perc alatt minden részletet a helyére teszünk. Kezdjük ezzel az f(x) függvénnyel. Ez a függvény általában valamilyen hanghullámot ír le... Mondjuk egy másodperc alatt. A hang frekvenciája azt jelenti, hogy egy másodperc alatt hány darab ilyen hullámhegyet látunk… Vagyis hallunk. Most a frekvencia tehát 3, és a frekvencia mértékegysége egyébként a Hertz (Hz). A zenei hangok ennél kicsit nagyobb frekvenciájúak, a normál "A" hang például 440 Hz. Vagyis egy másodperc alatt 440 hullámhegy van. Az egyszerűség kedvéért legyen most a frekvencia egy kicsit kevesebb... Ez itt a szinusz függvény egyetlen periódusa… És íme, a függvény képlete. Amikor eltelik az 1 másodperc, vagyis a t éppen 1, akkor tesz meg a szinusz egy teljes periódust. Ha két periódust akarunk 1 másodperc alatt, akkor beteszünk ide egy 2-est. A 440 periódus egy másodperc alatt pedig így nézne ki. Ha van egy másik hanghullám is… És a kettő egyszerre szól, akkor a hanghullámok összeadódnak. A két tiszta szinusz hullámból lesz egy ilyen dzsssss Hogyha csak ezt az összekevert hanghullámot látjuk, ebből őrülten nehéz kihámozni az eredeti frekvenciákat. Olyan, mint egy pohár kóla, aminek érezni az ízét, érezni az illatát, de nem tudjuk megmondani, hogy pontosan milyen összetevőkből áll. A Fourier-transzformáció visszacsinálja a kólát az összetevőire. Nézzük meg hogyan. A komplex számoknak van egy trigonometrikus alakja... Amit át tudunk írni exponenciális alakra is. A szöget most -val jelöljük... És a komplex számunk hossza most éppen egységnyi. Végül berakjuk még ide a kitevőbe ezt a t-t. Nézzük, mit tud ez a t… Amikor t=0 akkor tetszőleges w-ra itt vagyunk. És ahogy a t-t elkezdjük növelni, eljutunk valameddig. De van még itt egy vicces dolog… A Fourier-transzformációban az óramutató járásával egyező irányban haladunk. Ezért teszünk még ide egy mínuszjelet. Ahogy a t-t elkezdjük növelni, most az óramutató irányában megyünk a körön. Végül itt jön az utolsó fontos szereplő, az w. A mi kis történetünkben most 1 másodpercet vizsgálunk, így a t 0-tól megy 1-ig. Az, hogy itt a körben mekkora fordulatot teszünk meg, az w-tól függ. Ha akkor például egy félkört teszünk meg. Innen indulunk, amikor t=0… Aztán megyünk erre… És idáig jutunk, amikor a t=1. És most jön a lényeg... Ha ezeket összeszorozzuk, a hullám rátekeredik a körre. Nézzük meg, hogy miért. Menjünk szépen sorban, és kezdjük ott, amikor t=0. Ilyenkor ez a rész itt nulla, vagyis az egész szorzat is nulla. Aztán elmegyünk ide… A hullámunk a maximumon van, és a teljes kör 1/16-od részét tesszük meg. Hopp, itt a hullám megint nulla… És bumm, most lemegy a hullám negatívba. Húha, ez egy kicsit fura lesz... Nem erre megyünk tovább… Azért nem, mert most a hullám negatívban van. Ha akkor csak a félkörre tekerjük fel a hullámot. Bár ez kinézhetne így is… De nem így néz ki. Mivel a hullám negatív tartományba is megy, a helyzet valójában ez. Most lássuk, mi van akkor, ha w=4pi… Ilyenkor két kört teszünk meg a körön… És ez így néz ki. Nézzük meg egy kicsit közelebbről, hogyan tekeredik most fel a hullám a körre… Ez a rész van itt... Aztán a negatív rész átlóg ide… Utána erre folytatódik… És megvan az első kör. Na és mi van a hullám másik felével? Hát igen itt jön a lényeg… A hullám másik fele ugyanerre tekeredik rá, mivel most két teljes kört teszünk meg. . És mindjárt összeáll a kép. Rémisztő lesz… Nézzük, mi történik, ha négy kört teszünk meg, vagyis Hopp itt az első hullám felső része. Aztán itt az alsó… Őrület nem? Amikor feltekerjük, mind a négy hullámhegy és mind a négy hullámvölgy ebbe a fele akkora körbe megy át. Nincsenek véletlenek… 4 kört megyünk Ha 5 Hz lenne a frekvencia, akkor 5 kört kéne menni ahhoz, hogy ez történjen. Az w különböző értékeire tehát mindenféle virágokat kapunk, de amikor w éppen 8pi akkor ezt a kört kapjuk. Legalábbis akkor, amikor éppen 4 a frekvencia. És most kerül képbe az integrálás… Az integrálással mindig összegzünk valamit. Képzeljük el ezeket a görbéket úgy, mintha drótból hajtogattuk volna őket. Az integrálással itt lényegében a tömegközéppontjukat kapjuk meg. A tömegközéppont úgy tűnik elég közel esik a kör középpontjához, kivéve egyetlen esetet. És általánosan, ha a frekvencia f, akkor w=2*f*pi esetben. A kiugró eset éppen az, ahol a kör frekvenciája, a hullám frekvenciájának a pi-szerese. Nézzük, hogyan látszik ez az integrálással… Ha elvégezzük az integrálást és ábrázoljuk az így kapott függvény abszolútértékét, akkor valami ilyesmit kapunk. És itt jön a varázslat… Ha bejön egy másik hanghullám is… És ezek összeadódnak… Akkor az összegükből már nagyon nehéz kitalálni az eredeti frekvenciákat. De itt jön az összegük Fourier-transzformációja… És bumm, a két csúcs megmondja a két eredeti frekvenciát. És ezzel a kólát felbontottuk az eredeti összetevőire. Ezt a módszert használja az MP3 tömörítési technika, amely egy zenéből rengeteg „felesleges” frekvenciát ki tud dobálni és így kisebb lesz a hangfájl. Vagy ezzel a módszerrel működnek a rezgéseken alapuló diagnosztikai módszerek, az MRI vagy épp a Föld belső összetételét vizsgáló rezgéshullámok elemzése. De a képek tömörítéséhez vagy épp az 5G adatforgalomban is előkerül a Fourier-transzformáció. Itt 10 perc alatt megértheted a Fourier-transzformáció lényegét. Röviden arról van szó, hogy a Fourier-transzformáció egy olyan matematikai gépezet, amely csúnyán összekevert hullámokból képes visszafejteni az eredeti hullámok frekvenciáit. Olyan, mintha lenne egy pohár kólánk és képesek lennénk visszacsinálni az alkotóelemeire, hogy megnézhessük miből áll össze. Az egész Fourier-transzformáció alapötlete, hogy a különböző frekvenciájú hullámokat feltekerjük egy körre és így kezdjük el őket vizsgálni. A feltekerést a komplex számok segítségével végezzük el, ez tűnik talán a leginkább rémisztő résznek. A feltekert hullámok általában valamilyen virágmintákat adnak ki a körben, ám amikor éppen egy olyan körbe tekerjük fel, aminek a körfrekvenciája megegyezik az eredeti hullám frekvenciájával, pontosabban annak kétszer pi-szeresével, akkor egy drasztikusan eltérő alakzatot kapunk. Ezt a drasztikus eltérést remekül lehet detektálni úgy, hogy az összes létező alakzatot integráljuk, és ezeket hasonlítjuk egymással össze. Ha két, vagy akár sok-sok hullámot összeadunk és ennek vizsgáljuk a feltekerés utáni integrálját, vagyis a Fourier-transzformáltját, akkor az így kapott integrálás pontosan detektálja számunkra az összes eredeti hullám frekvenciáját. Ezt a módszert használja az MP3 tömörítési technika, amely egy zenéből rengeteg „felesleges” frekvenciát ki tud dobálni és így kisebb lesz a hangfájl. Vagy ezzel a módszerrel működnek a rezgéseken alapuló diagnosztikai módszerek, az MRI vagy épp a Föld belső összetételét vizsgáló rezgéshullámok elemzése. De a képek tömörítéséhez vagy épp az 5G adatforgalomban is előkerül a Fourier-transzformáció.

A Fourier-transzformáció egy olyan matematikai gépezet, ami föltekeri a hanghullámokat egy komplex számsíkban fekvő körre, és aztán az így kapott virágmintákat integrálja. A képletben szereplő w a körfrekvencia, ami azt mondja meg, hogy milyen gyorsan forog a kör, amire a hanghullámot feltekerjük. Egészen pontosan azt adja meg, hogy az eltelt 1 másodperc alatt a kör hány fordulatot tesz meg. Az w különböző értékeire tehát mindenféle virágokat kapunk, de amikor w éppen 8pi akkor ezt a kört kapjuk. A dolog nem véletlen, itt ugyanis éppen annyi kört teszünk meg, mint az eredeti hullám frekvenciája. És most kerül képbe az integrálás… Az integrálással mindig összegzünk valamit. Az integrálás eredménye valamilyen komplex függvény lesz, és ennek az abszolútértékét ábrázoljuk itt. Egy komplex függvény abszolútértéke… hát ez nem hangzik túl jól… Így kezdetben elég annyit tudnunk, hogyha az eredeti hanghullám frekvenciája f, akkor w=2*f*pi-nél lesz az ábránkon egy ilyen kiugró csúcs… Így tudja detektálni a Fourier-transzformáció az eredeti hullám frekvenciáját. Hogyha megnézzük ezt a grafikont a negatív w-ra is, akkor látszik, hogy valójában két csúcs is van. És a csúcsok magassága pedig… Éppen a hullám magasságának a fele. A hullám magasságát hívják egyébként amplitúdónak. Hogyha növeljük a hullám magasságát, vagyis a hangerőt, akkor a csúcsok magassága is nő. És őrület, ha csökkentjük a hangerőt, akkor a csúcsok magassága is csökken. De ez még nem minden... Hogyha a hangerőn nem változtatunk, az 1 másodpercet viszont 2 másodpercre növeljük, akkor a csúcsok a kétszeresére nőnek. És minél hosszabb intervallumot vizsgálunk, a csúcsok annál magasabbak lesznek. Így néz ki például, amikor 10 másodperces intervallumot nézünk. És bumm, amikor a teljes számegyenesen vizsgáljuk a hullámot, akkor végtelenül magas csúcsokat kapunk. Ezeket a végtelenül magas és végtelenül vékony tüskéket Dirac-deltának hívjuk. A Dirac-delta a matematika, a fizika és a jelfeldolgozás egyik legkülönösebb, eszköze, és Paul Dirac Nobel-díjas fizikusról neveztek el. A Dirac-delta jelölése és ez egy olyan függvény, amely mindenhol nulla, kivéve egyetlen pontban, ahol végtelen nagy értéket vesz fel, és a teljes számegyenesen vett integrálja 1. Szigorúan matematikai értelemben ez igazából nem is függvény, de hát végülis ez érthető, hiszen fizikusok találták ki… És most itt az ideje, hogy végre számoljunk is valamit… Kezdjük valami egyszerűvel, és számoljuk ki az egységnyi négyszög-impulzus Fourier-transzformáltját. Az f(t) függvény Fourier-transzformáltja: Megkezdjük a Fourier-transzformációt. És most lássuk, hogyan kéne ezt integrálni… Az 1-es szorzót már az általános iskolában sem kellett kiírni… A komplex számok exponenciális alakját visszaírjuk trigonometrikus alakra, hátha szebb lesz. És íme, a négyszög-impulzus Fourier-transzformáltja. Egy végső csinosítást még csinálhatunk, ha a számlálót és a nevezőt is osztjuk 2-vel. Ezzel egy kardinális jelentőségű függvényt kapunk... Az függvényt hívjuk függvénynek. Használják rá a kardinális szinusz elnevezést vagy a szinusz kardinálist is. A függvénynek nagy jelentősége van az mint az információelméletben és a digitális jelfeldolgozásban. Egy éles négyszögjelből a transzformáció után egy végtelenbe nyúló, hullámzó, lecsengő frekvenciaspektrumot kapunk.

A Fourier-transzformáció lényegében egy integrálás, így az integrálási szabályok átörökíthetőek a Fourier-transzformációra is. Az f és g függvények Fourier-transzformáltját jelöljük F-fel és G-vel. Ekkor: Menjünk szépen sorban… Itt jön aztán a következő integrálási szabály, amit lineáris helyettesítésnek hívtunk… Ennek a Fourier-transzformációs verziója szinte pontosan ugyanez. Vannak, akik ezt a szabályt így szokták megfogalmazni: Igazából ez pont ugyanaz. Elég annyit megjegyezni, hogy ez pont olyan, mint a lineáris helyettesítés az integrálásban. Ha itt belül szorzunk a-val, akkor a Fourier-transzformációban osztani kell a-val. Ha itt belül osztunk a-val, akkor a Fourier-transzformációban szorozni kell a-val. Csak itt kell még egy abszolútérték. Itt jön aztán a következő integrálási szabály, a függvények szorzatára… Ja, mondjuk ilyen szabály nincs. Hát, akkor el is fogytak… De van itt még néhány izgalmas dolog a Fourier-transzformációnál… Ezt a szabályt eltolási tételnek nevezzük. Ha egy hanghullámot, például egy dalt eltolunk az időben akkor a benne lévő hangok, vagyis a frekvenciák nem változnak meg. Ami változik, az a fázis. A késleltetést ez a rész kódolja. A következő fontos szabály a frekvencia-eltolás. Az f és g függvények változóira a t-t és az x-et is szokás használni, és egyébként teljesen mindegy, hogy melyik betűt használjuk. Az f függvény Fourier-transzformáltja F. Fejezzük ki a F segítségével ezt a Fourier-transzformáltat: Jönnek a csodás kis képletek… Úgy néz ki, hogy mindjárt kettő is… Meg ez a kivonás is. Ja nem, a másik, mert most az eredetei függvényt deriváljuk és nem a Fourier-transzformáltat. Adjuk meg az függvény második deriváltjának Fourier-transzformációját, ha az f függvény Fourier-transzformáltja F. Tudjuk, hogy az f függvény Fourier-transzformáltja Mi lesz az deriváltjának a Fourier-transzformációja? Nézzük először deriválás nélkül… Megint jön a kiemeléses trükk:

Itt az ideje kiszámolni néhány függvény Fourier-transzformáltját. Kezdjük mondjuk ezzel: Próbáljuk meg először értelmezni a látottakat… Mindkét integrálás lineáris helyettesítés lesz: És kész is, megvan a Fourier-transzformált.