Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:
\( \mathcal{F} \left[ f(x-x_0) \right] = e^{-i \omega x_0} \cdot F(\omega) \)
Vannak, akik ezt a szabályt így szokták megfogalmazni:
\( \mathcal{F} \left[ f\left( \frac{x}{a} \right) \right] = \mid a \mid \cdot F\left( \frac{\omega}{a} \right) \)
Ha egy hanghullámot, például egy dalt eltolunk az időben akkor a benne lévő hangok, vagyis a frekvenciák nem változnak meg. Ami változik az a fázis.
Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt. Aztán jön a hasonlósági, vagy dilatációs tétel az eltolási tétel, modulációs tétel, differenciálás frekvenciában, differenciálás időben. A tételek első ránézésre nem tűnnek túl barátságosnak, de ha kipróbáljuk őket, akkor kiderül, hogy valójában nem is nehezek.
a) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja $F$. Fejezzük ki az $F$ segítségével ezt a Fourier-transzformáltat:
\( \mathcal{F} \left[ f(4x-12) \right] \)
b) Adjuk meg az $f(x-4)$ második deriváltjának Fourier-transzformációját, ha az $f$ függvény Fourier-transzformáltja $F$.
c) Tudjuk, hogy az $f$ függvény Fourier-transzformáltja:
\( \mathcal{F}(\omega)= \frac{2}{1+\omega^2} \)
Mi lesz az $f(4x-3)$ deriváltjának Fourier-transzformációja?
