Regisztráció

form.antibot { display: none !important; } You must have JavaScript enabled to use this form.

Analízis 2 epizód tartalma:

Itt szuper érthetően megnézheted a Fourier-transzformáció különböző szabályait. Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt. Aztán jön a hasonlósági, vagy dilatációs tétel az eltolási tétel, modulációs tétel, differenciálás frekvenciában, differenciálás időben. A tételek első ránézésre nem tűnnek túl barátságosnak, de ha kipróbáljuk őket, akkor kiderül, hogy valójában nem is nehezek.

A képsor tartalma

A Fourier-transzformáció lényegében egy integrálás, így az integrálási szabályok átörökíthetőek a Fourier-transzformációra is. Az f és g függvények Fourier-transzformáltját jelöljük F-fel és G-vel. Ekkor: Menjünk szépen sorban… Itt jön aztán a következő integrálási szabály, amit lineáris helyettesítésnek hívtunk… Ennek a Fourier-transzformációs verziója szinte pontosan ugyanez. Vannak, akik ezt a szabályt így szokták megfogalmazni: Igazából ez pont ugyanaz. Elég annyit megjegyezni, hogy ez pont olyan, mint a lineáris helyettesítés az integrálásban. Ha itt belül szorzunk a-val, akkor a Fourier-transzformációban osztani kell a-val. Ha itt belül osztunk a-val, akkor a Fourier-transzformációban szorozni kell a-val. Csak itt kell még egy abszolútérték. Itt jön aztán a következő integrálási szabály, a függvények szorzatára… Ja, mondjuk ilyen szabály nincs. Hát, akkor el is fogytak… De van itt még néhány izgalmas dolog a Fourier-transzformációnál… Ezt a szabályt eltolási tételnek nevezzük. Ha egy hanghullámot, például egy dalt eltolunk az időben akkor a benne lévő hangok, vagyis a frekvenciák nem változnak meg. Ami változik, az a fázis. A késleltetést ez a rész kódolja. A következő fontos szabály a frekvencia-eltolás. Az f és g függvények változóira a t-t és az x-et is szokás használni, és egyébként teljesen mindegy, hogy melyik betűt használjuk. Az f függvény Fourier-transzformáltja F. Fejezzük ki a F segítségével ezt a Fourier-transzformáltat: Jönnek a csodás kis képletek… Úgy néz ki, hogy mindjárt kettő is… Meg ez a kivonás is. Ja nem, a másik, mert most az eredetei függvényt deriváljuk és nem a Fourier-transzformáltat. Adjuk meg az függvény második deriváltjának Fourier-transzformációját, ha az f függvény Fourier-transzformáltja F. Tudjuk, hogy az f függvény Fourier-transzformáltja Mi lesz az deriváltjának a Fourier-transzformációja? Nézzük először deriválás nélkül… Megint jön a kiemeléses trükk:

Ebben az epizódban szereplő képletek:

Linearitás

Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:

$ \mathcal{F} \left[ \alpha \cdot f + \beta \cdot g \right] = \alpha \cdot F(\omega)+\beta \cdot G(\omega) $

Ha két jelet összeadsz (egy-egy konstans szorzóval), a frekvenciaképüket ugyanígy összeadhatod és szorozhatod.

Képzeld el, hogy egy turmixgépbe bedobsz egy almát és egy banánt, majd összeturmixolod őket. A kapott püré íze pontosan az alma és a banán ízének az összege lesz. Nem keletkeznek misztikus új gyümölcsök; a lineáris kombináció az időtartományban lineáris kombináció marad a frekvenciatartományban is.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hasonlósági, vagy dilatációs tétel

Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:

$ \mathcal{F} \left[ f(a\cdot x) \right] = \frac{1}{\mid a \mid} \cdot F\left(\frac{\omega}{a} \right) $

Vannak, akik ezt a szabályt így szokták megfogalmazni:

$ \mathcal{F} \left[ f\left( \frac{x}{a} \right) \right] = \mid a \mid \cdot F\left( a\cdot \omega \right) $

Éppen úgy működik, mint a lineáris helyettesítés az integrálásban.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Eltolási tétel

Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:

$ \mathcal{F} \left[ f(x-x_0) \right] = e^{-i \omega x_0} \cdot F(\omega) $

Vannak, akik ezt a szabályt így szokták megfogalmazni:

$ \mathcal{F} \left[ f\left( \frac{x}{a} \right) \right] = \mid a \mid \cdot F\left( \frac{\omega}{a} \right) $

Ha egy hanghullámot, például egy dalt eltolunk az időben akkor a benne lévő hangok, vagyis a frekvenciák nem változnak meg. Ami változik az a fázis.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Modulációs tétel

Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:

$ \mathcal{F} \left[ e^{-i \omega_0 x} \cdot f(x) \right] = F(\omega - \omega_0) $

Itt a hanghullámok frekvencáját toljuk el, amire például a jelek továbbításánál lehet szükség.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciálás frekvenciában

Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:

$ \mathcal{F} \left[ x^n f(x) \right] = i^n \cdot F^{(n)}(\omega) $

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciálás időben

Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:

$ \mathcal{F} \left[ f^{(n)} (x) \right] = (i \omega)^n \cdot F(\omega) $

Az időbeli deriválás a frekvenciatartományban egy szorzássá válik. A deriválás a változást méri. Minél magasabb frekvenciájú (gyorsabban rezgő) egy hang, annál meredekebben és gyorsabban változik a hullámformája.

Megnézem a kapcsolódó epizódot