Az $f$ és $g$ függvények Fourier-transzformáltját jelöljük $F$-fel és $G$-vel. Ekkor:
\( \mathcal{F} \left[ \alpha \cdot f + \beta \cdot g \right] = \alpha \cdot F(\omega)+\beta \cdot G(\omega) \)
Ha két jelet összeadsz (egy-egy konstans szorzóval), a frekvenciaképüket ugyanígy összeadhatod és szorozhatod.
Képzeld el, hogy egy turmixgépbe bedobsz egy almát és egy banánt, majd összeturmixolod őket. A kapott püré íze pontosan az alma és a banán ízének az összege lesz. Nem keletkeznek misztikus új gyümölcsök; a lineáris kombináció az időtartományban lineáris kombináció marad a frekvenciatartományban is.
Olyanok ezek, mint a deriválási szabályok, vagy épp az integrálási szabályok, csak ezek a Fourier-transzformáció szabályai. Az egyik legfontosabb szabály a linearitás, ami a deriválásnál és az integrálásnál is megvolt.
a) Az $f$ függvény Fourier-transzformáltja $F$. Fejezzük ki az $F$ segítségével ezt a Fourier-transzformáltat:
\( \mathcal{F} \left[ f(4x-12) \right] \)
b) Adjuk meg az $f(x-4)$ második deriváltjának Fourier-transzformációját, ha az $f$ függvény Fourier-transzformáltja $F$.
c) Tudjuk, hogy az $f$ függvény Fourier-transzformáltja:
\( \mathcal{F}(\omega)= \frac{2}{1+\omega^2} \)
Mi lesz az $f(4x-3)$ deriváltjának Fourier-transzformációja?
