Analízis 3 epizód tartalma:
Mit jelent a vektormező divergenciája. Szemléletes példákon keresztül megnézzük, hogy mi is a divergencia. Aztán pedig lépésről lépésre kiszámoljuk néhány remek vektormező divergenciáját. Pozitív és negatív divergenciájú pontokat forrásnak és nyelőnek nevezzük. A forrás és a nyelő jellemzése. Példák vektormező divergenciájára.
Az Atlanti-óceán felett mindig fúj a szél.
A víz felszíne felett a szél sebességét és irányát egy vektormező írja le.
De hogyan lehetséges az,
hogy ide mindig csak befelé áramlik a levegő?
És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?
Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.
De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.
A válasz, a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…
Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.
A térítőknél pedig lefelé.
Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.
A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.
Ezt a szélkörzést hívjuk passzát szélnek.
Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…
Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.
És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.
A többi terület semleges, ott nem tűnik el levegő és nem is kerül elő a semmiből.
Földrajzi értelemben a sárga területek légnyomása teljesen átlagos, itt semmi izgalmas nem történik.
Ezt nullával fogjuk jelölni.
A piros területeken az átlagnál nagyobb a légnyomás…
a zöld területeken pedig az átlagnál kisebb.
A piros területen lévő pontokat forrásnak nevezzük. Itt a „semmiből” levegő áramlik a rendszerbe.
A zöld területen lévő pontokat nyelőnek hívjuk. Ezek a pontok elnyelik a levegőt.
A vektormező divergenciája egy olyan függvény, amely a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.
Nézzünk erre egy példát.
Itt egy vektormező:
Ha valakinek nagyon sok ideje van, és egyesével kiszámolgatja szépen a vektorokat a sík pontjaira…
akkor valami ilyet fog kapni.
A kontinensekre már végülis nincs szükség…
A zöld részen a levegő folyamatosan eltűnik a rendszerből.
Ahogy haladunk balról jobbra, az egyre jobban rövidülő nyilak azt jelentik, hogy itt a levegő folyamatosan csökken.
A piros részen pedig balról jobbra haladva megjelenik.
A divergencia a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.
És éppen itt is jön a képlete:
Nem kell mást tennünk, mint az első koordinátafüggvényt x szerint deriválni…
A második koordinátafüggvényt pedig y szerint.
És voila, meg is van a divergencia.
Vegyünk most egy tetszőleges pontot a vektormezőben.
Itt van például ez.
Ebben a pontban a divergencia…
Ez azt mondja meg, hogy a kiválasztott pontban mennyi levegő áramlik a rendszerbe.
Ha egy másik pontot választunk…
Akkor persze ott is kiszámolhatjuk a divergenciát.
Nem kell túl nagy szakértelem ahhoz, hogy rájöjjünk:
az x=3 egyenletű egyenes minden pontjában 12 lesz a divergencia.
Ha a vektormező minden pontjához hozzárendeljük az adott ponthoz tartozó divergenciát, akkor egy vektor-skalár függvényt kapunk.
A divergencia minden olyan pontban negatív, amelyre x<0.
Ezek a pontok az úgynevezett nyelők a vektormezőn.
Azokban a pontokban, ahol x>0, a divergencia pozitív.
Ezek a pontok források.
Ez nagyszerű, most pedig nézzünk meg egy másik vektormezőt is.
Íme, itt van például ez.
Nézzük, mekkora a divergencia.
A vektormező divergenciája minden pontban nulla.
Ez azt jelenti, hogy egyik pontban sem áramlik levegő befelé a rendszerbe.
Sem pedig kifelé.
A levegő, viszont meglehetősen kavarog.
Ezt az örvénylő mozgást írja le a rotáció.
És épp most jön…A vektormezőkkel kapcsolatban az első és legfontosabb, amit tehetünk, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat.
Maga a vektormező egy teljesen hétköznapi fogalom, éppen itt jön erre egy példa.
Ez itt az Atlanti-óceán, az óceán felett pedig mindig fúj a szél.
Ha az Óceán minden pontjában megadjuk a szél sebességét és irányát, akkor egy vektormezőt kapunk.
Ez egy függvény, ami azt tudja, hogy a sík minden pontjához hozzárendel egy vektort.
Az egyszerűség kedvéért legyen a szél sebessége minden pontban 5 km/h és fújjon nyugat felé.
A függvény tehát minden (x,y) ponthoz ugyanazt a vektort rendeli hozzá.
Na persze a szél nem csak az óceán felszíne felett fúj, hanem magasabban is…
Szükség lesz tehát egy z koordinátára is.
De kezdetnek maradjunk most a síkbeli esetnél.
A síkbeli eset egy vektormező.
Ha a szélirány megváltozik…
akkor egy másik vektormezőt kapunk.
A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha a szél iránya és sebessége függ az adott pont koordinátájától.
Itt van például ez a vektormező:
Nézzük meg, hogyan néz ki.
Kezdjük az egyenlítővel, amikor y=0.
Ha y=0, akkor a szélsebesség vektor ez.
Ha y=1, akkor a szélsebesség vektor…
Aztán jön az y=2:
És az y=3:
És voila, íme a vektormező.
Na persze, ha túlképzettek vagyunk földrajzból…
Akkor mondhatjuk, hogy a valóságban ez így néz ki.
És ezzel el is érkeztünk a vektormezők vizsgálatának egyik legizgalmasabb pontjához.
Hogyan lehetséges az, hogy ide csak befelé áramlik a levegő?
Vajon mi történik ott vele?
És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?
Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.
De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.
A válasz a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…
Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.
A térítőknél pedig lefelé.
Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.
A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.
Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…
Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.
És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.
Ez lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.
De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…